简单的面试问题变得更难了:给定数字1..100，在给定k个缺失数的情况下找出缺失数

前段时间我有一次有趣的面试经历。问题一开始很简单:

Q1:我们有一个袋子，里面有数字1,2,3，…，100。每个数字恰好出现一次，所以有100个数字。现在从袋子里随机抽取一个数字。找到丢失的号码。

当然，我以前听过这个面试问题，所以我很快就回答了这个问题:

A1:嗯，1 + 2 + 3 +…+ N的和是(N+1)(N/2)(参见维基百科:等差级数的和)。当N = 100时，和是5050。因此，如果所有的数字都在袋子里，总和将恰好是5050。因为少了一个数，总和就会小于这个数，差的就是这个数。所以我们可以在O(N)时间和O(1)空间中找到这个缺失的数。

在这一点上，我认为我做得很好，但突然间，问题发生了意想不到的转变:

这是正确的，但是如果少了两个数字，你会怎么做?

我以前从未见过/听过/考虑过这种变化，所以我很恐慌，无法回答这个问题。面试官坚持要知道我的思考过程，所以我提到，也许我们可以通过与预期产品进行比较来获得更多信息，或者在从第一次传递中收集到一些信息后再进行第二次传递，等等，但我真的只是在黑暗中拍摄，而不是真正有一个明确的解决方案的路径。

面试官试图鼓励我说，有第二个方程确实是解决问题的一种方法。在这一点上，我有点不安(因为事先不知道答案)，并问这是一种通用的(阅读:“有用的”)编程技术，还是只是一个技巧/答案。

面试官的回答让我惊讶:你可以把这个技巧概括为3个缺失的数字。事实上，你可以推广它来找到k个缺失的数。

Qk:如果袋子里少了k个数字，你如何有效地找到它?

这是几个月前的事了，我还不明白这个技巧是什么。显然有一个Ω(N)的时间下限，因为我们必须扫描所有的数字至少一次，但面试官坚持认为，解决技术的时间和空间复杂度(减去O(N)次输入扫描)定义为k而不是N。

所以问题很简单:

如何解决Q2? 你会如何解决Q3? 如何求解Qk?

澄清

Generally there are N numbers from 1..N, not just 1..100. I'm not looking for the obvious set-based solution, e.g. using a bit set, encoding the presence/absence each number by the value of a designated bit, therefore using O(N) bits in additional space. We can't afford any additional space proportional to N. I'm also not looking for the obvious sort-first approach. This and the set-based approach are worth mentioning in an interview (they are easy to implement, and depending on N, can be very practical). I'm looking for the Holy Grail solution (which may or may not be practical to implement, but has the desired asymptotic characteristics nevertheless).

当然，你必须以O(N)为单位扫描输入，但你只能捕获少量的信息(用k而不是N定义)，然后必须以某种方式找到k个缺失的数字。

当前回答

您还可以创建一个大小为last_element_in_the_existing_array + 1的布尔数组。

在for循环中，标记现有数组中存在的所有元素为true。

在另一个for循环中，打印包含false的元素的索引，即缺失的元素。

时间复杂度:O(last_element_in_the_existing_array)

空间复杂度:O(array.length)

2020-01-09 08:33:13

其他回答

谢谢你这个有趣的问题:

因为你让我想起了牛顿的工作，它真的可以解决这个问题

请参考牛顿恒等式

As变量的数量=方程的数量(必须为一致性)

我认为，对于这个问题，我们应该提高袋数的幂，以便创建不同的方程。

我不知道，但是，我相信如果有一个函数，比如f，我们要加上f(xi)

x1+x2+…+ xk = z1

x12 + x22 + ... + xk2 = z2

............

x1k + x2k + ... + xkk = XP

休息是一个不确定时间和空间复杂性的数学工作，但牛顿恒等式肯定会发挥重要作用。

我们不能用集合理论吗 .difference_update()或在这个问题方法中是否有线性代数的机会?

2021-09-18 18:04:45

下面是Dimitris Andreou链接的摘要。

记住i次幂的和，其中i=1 2 .. k。这就把问题简化为解方程组

A1 + A2 + ... + AK = B1

A12 + A22 + ... + AK2 = B2

...

a1k + a2k + ... + laas = bk

利用牛顿恒等式，知道bi就可以计算

c1 = a1 + a2 +ak

c2 = a1a2 + a1a3 +，+ ak-1ak

...

ck = a1a2 ..ak

如果你展开多项式(x-a1)…(x-ak)系数正好是c1，…， ck -见Viète的公式。由于每个多项式因子都是唯一的(多项式环是欧几里得域)，这意味着ai是唯一确定的，直到排列为止。

这就证明了记住幂就足以恢复数字。对于常数k，这是一个很好的方法。

However, when k is varying, the direct approach of computing c1,...,ck is prohibitely expensive, since e.g. ck is the product of all missing numbers, magnitude n!/(n-k)!. To overcome this, perform computations in Zq field, where q is a prime such that n <= q < 2n - it exists by Bertrand's postulate. The proof doesn't need to be changed, since the formulas still hold, and factorization of polynomials is still unique. You also need an algorithm for factorization over finite fields, for example the one by Berlekamp or Cantor-Zassenhaus.

常数k的高级伪代码:

计算给定数的i次幂相减得到未知数字的i次幂的和。称这些和为bi。利用牛顿恒等式从bi中计算系数;叫它们ci。c1 = b1;C2 = (c1b1 - b2)/2;详见维基百科的精确公式因式分解多项式xk-c1xk-1 +…+ ck。多项式的根是所需的数a1，…正义与发展党。

对于改变k，使用例如Miller-Rabin，找到质数n <= q < 2n，并对所有数字对q进行模数化简来执行步骤。

编辑:这个答案的前一个版本表明，可以使用特征2 (q=2^(log n))的有限域来代替Zq，其中q是素数。但事实并非如此，因为牛顿公式需要除以k以内的数。

2010-08-16 12:13:14

等一下。正如问题所述，袋子里有100个数字。无论k有多大，问题都可以在常数时间内解决，因为您可以使用一个集合，并在最多100k次循环迭代中从集合中删除数字。100是常数。剩下的数就是你的答案。

如果我们将解推广到从1到N的数字，除了N不是常数外，没有什么变化，所以我们在O(N - k) = O(N)时间内。例如，如果我们使用位集，我们在O(N)时间内将位设置为1，遍历这些数字，将位设置为0 (O(N-k) = O(N))，然后我们就得到了答案。

It seems to me that the interviewer was asking you how to print out the contents of the final set in O(k) time rather than O(N) time. Clearly, with a bit set, you have to iterate through all N bits to determine whether you should print the number or not. However, if you change the way the set is implemented you can print out the numbers in k iterations. This is done by putting the numbers into an object to be stored in both a hash set and a doubly linked list. When you remove an object from the hash set, you also remove it from the list. The answers will be left in the list which is now of length k.

2010-08-16 11:25:59

您可以使用二分搜索来查找缺失(或连续)数字的间隔。运行时间应该是(num间隔)* log(平均间隔长度)* n。如果间隔不多，则很有用。

2016-12-14 00:30:14

一种方法是对质数101取模。

计算并存储整数1到100的乘积，对该数字取101的模。小外显:结果是1。

计算并存储所有数字1到100的和，对结果对101进行模运算。小exo:结果是0。

现在假设袋子里的数字x和y都被拿走了。

求包里所有东西对101模的乘积和。这样我就知道的值

A = x+y和 b = x * y

modulo 101。

现在很容易求出x和y对101的模(求解含有101个元素的有限域上的二次多项式)。

现在你知道了x和y对101的模。但是因为你知道x和y都小于101，所以你知道它们的真实值。