您可能需要澄清O(k)的含义。

这里有一个任意k的简单解:对于你的数字集中的每一个v，将2^v相加。最后，循环i从1到n，如果和2^i按位和为零，则i缺失。(或者在数字上，如果和的底除以2^i是偶数。或者模2^(i+1) < 2^i

容易,对吧?O(N)时间，O(1)存储，支持任意k。

除了你在计算一个巨大的数字，在真正的计算机上，每个数字都需要O(N)个空间。事实上，这个解和位向量是一样的。

所以你可以很聪明地计算和，平方和和和立方体的和…直到v^k的和，然后用复杂的数学方法提取结果。但这些都是很大的数字，这就引出了一个问题:我们谈论的是哪种抽象的运作模式?O(1)空间中有多少是合适的，以及需要多长时间才能将所需大小的数字相加?

基于数字和的解决方案的问题是，它们没有考虑到存储和处理具有大指数的数字的成本……在实践中，为了使它适用于非常大的n，将使用大数库。我们可以分析这些算法的空间利用率。

我们可以分析sdcvvc和Dimitris Andreou算法的时间和空间复杂度。

储存:

l_j = ceil (log_2 (sum_{i=1}^n i^j))
l_j > log_2 n^j  (assuming n >= 0, k >= 0)
l_j > j log_2 n \in \Omega(j log n)

l_j < log_2 ((sum_{i=1}^n i)^j) + 1
l_j < j log_2 (n) + j log_2 (n + 1) - j log_2 (2) + 1
l_j < j log_2 n + j + c \in O(j log n)`

所以l_j \in \ (j log n)

所使用的总存储空间:\sum_{j=1}^k l_j \in \Theta(k^2 log n)

使用的空间:假设计算a^j需要ceil(log_2 j)时间，总时间:

t = k ceil(\sum_i=1^n log_2 (i)) = k ceil(log_2 (\prod_i=1^n (i)))
t > k log_2 (n^n + O(n^(n-1)))
t > k log_2 (n^n) = kn log_2 (n)  \in \Omega(kn log n)
t < k log_2 (\prod_i=1^n i^i) + 1
t < kn log_2 (n) + 1 \in O(kn log n)

总使用时间:\Theta(kn log n)

如果这个时间和空间是令人满意的，您可以使用一个简单的递归 算法。让b !I是袋子里的第I个元素，n个之前的数字 移除次数，k是移除次数。在Haskell语法中…

let
  -- O(1)
  isInRange low high v = (v >= low) && (v <= high)
  -- O(n - k)
  countInRange low high = sum $ map (fromEnum . isInRange low high . (!)b) [1..(n-k)]
  findMissing l low high krange
    -- O(1) if there is nothing to find.
    | krange=0 = l
    -- O(1) if there is only one possibility.
    | low=high = low:l
    -- Otherwise total of O(knlog(n)) time
    | otherwise =
       let
         mid = (low + high) `div` 2
         klow = countInRange low mid
         khigh = krange - klow
       in
         findMissing (findMissing low mid klow) (mid + 1) high khigh
in
  findMising 1 (n - k) k

使用的存储:O(k)用于列表，O(log(n))用于堆栈:O(k + log(n)) 该算法更直观，具有相同的时间复杂度，占用的空间更少。

我还没有检查数学，但我怀疑在计算Σ(n)的同时计算Σ(n^2)将提供足够的信息来得到两个缺失的数字，如果有三个，也要计算Σ(n^3)，等等。

不确定，这是否是最有效的解决方案，但我会遍历所有条目，并使用bitset来记住，设置了哪些数字，然后测试0位。

我喜欢简单的解决方案，我甚至相信，它可能比计算和，或平方和等更快。

等一下。正如问题所述，袋子里有100个数字。无论k有多大，问题都可以在常数时间内解决，因为您可以使用一个集合，并在最多100k次循环迭代中从集合中删除数字。100是常数。剩下的数就是你的答案。

如果我们将解推广到从1到N的数字，除了N不是常数外，没有什么变化，所以我们在O(N - k) = O(N)时间内。例如，如果我们使用位集，我们在O(N)时间内将位设置为1，遍历这些数字，将位设置为0 (O(N-k) = O(N))，然后我们就得到了答案。

It seems to me that the interviewer was asking you how to print out the contents of the final set in O(k) time rather than O(N) time. Clearly, with a bit set, you have to iterate through all N bits to determine whether you should print the number or not. However, if you change the way the set is implemented you can print out the numbers in k iterations. This is done by putting the numbers into an object to be stored in both a hash set and a doubly linked list. When you remove an object from the hash set, you also remove it from the list. The answers will be left in the list which is now of length k.

你可以通过阅读Muthukrishnan的几页-数据流算法:谜题1:寻找缺失的数字来找到它。它准确地显示了您正在寻找的泛化。也许这就是面试官读到的内容，也是他提出这些问题的原因。

还请参阅sdcvvc的直接相关答案，其中还包括伪代码(万岁!没有必要阅读那些棘手的数学公式:)(谢谢，干得好!)