有没有一种简单的方法来确定一个点是否在三角形内?是2D的,不是3D的。
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bool isInside( float x, float y, float x1, float y1, float x2, float y2, float x3, float y3 ) {
float l1 = (x-x1)*(y3-y1) - (x3-x1)*(y-y1),
l2 = (x-x2)*(y1-y2) - (x1-x2)*(y-y2),
l3 = (x-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y-y3);
return (l1>0 && l2>0 && l3>0) || (l1<0 && l2<0 && l3<0);
}
没有比这更有效率的了!三角形的每边都可以有独立的位置和方向,因此需要进行l1、l2和l3三个计算,每个计算需要进行2次乘法。一旦l1, l2和l3是已知的,结果只是一些基本的比较和布尔运算。
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最简单的方法,适用于所有类型的三角形,就是确定P点A点B点C点的角。如果任何一个角大于180.0度,那么它在外面,如果是180.0度,那么它在圆周上,如果acos欺骗了你,小于180.0度,那么它在里面。看一看理解http://math-physics-psychology.blogspot.hu/2015/01/earlish-determination-that-point-is.html
我同意Andreas Brinck的观点,重心坐标对于这项任务来说非常方便。注意,不需要每次都求解一个方程组:只需计算解析解。使用Andreas的符号,解是:
s = 1/(2*Area)*(p0y*p2x - p0x*p2y + (p2y - p0y)*px + (p0x - p2x)*py);
t = 1/(2*Area)*(p0x*p1y - p0y*p1x + (p0y - p1y)*px + (p1x - p0x)*py);
其中Area是三角形的(带符号的)面积:
Area = 0.5 *(-p1y*p2x + p0y*(-p1x + p2x) + p0x*(p1y - p2y) + p1x*p2y);
只计算st和1-s-t。点p在三角形内当且仅当它们都是正的。
编辑:请注意,上面的区域表达式假设三角形节点编号是逆时针方向的。如果编号是顺时针的,这个表达式将返回一个负的面积(但大小正确)。然而,测试本身(s>0 && t>0 && 1-s-t>0)并不依赖于编号的方向,因为如果三角形节点的方向改变,上面乘以1/(2*Area)的表达式也会改变符号。
编辑2:为了获得更好的计算效率,请参阅下面的coproc注释(其中指出,如果三角形节点的方向(顺时针或逆时针)事先已知,则可以避免在s和t的表达式中除以2*Area)。在Andreas Brinck的回答下面的评论中也可以看到Perro Azul的jsfiddle-code。
老实说,这就像Simon P Steven的回答一样简单,但是用这种方法,你无法控制你是否想要包含三角形边缘上的点。
我的方法有点不同,但非常基本。考虑下面的三角形;
为了在三角形中有这个点我们必须满足三个条件
ACE角(绿色)应小于ACB角(红色) ECB角(蓝色)应小于ACB角(红色) 当点E和点C的x和y值应用于|AB|直线方程时,点E和点C的符号应该相同。
在此方法中,您可以完全控制单独包含或排除边缘上的点。所以你可以检查一个点是否在三角形中,例如,只包括|AC|边。
所以我的JavaScript解决方案是这样的;
function isInTriangle(t,p){ function isInBorder(a,b,c,p){ var m = (a.y - b.y) / (a.x - b.x); // calculate the slope return Math.sign(p.y - m*p.x + m*a.x - a.y) === Math.sign(c.y - m*c.x + m*a.x - a.y); } function findAngle(a,b,c){ // calculate the C angle from 3 points. var ca = Math.hypot(c.x-a.x, c.y-a.y), // ca edge length cb = Math.hypot(c.x-b.x, c.y-b.y), // cb edge length ab = Math.hypot(a.x-b.x, a.y-b.y); // ab edge length return Math.acos((ca*ca + cb*cb - ab*ab) / (2*ca*cb)); // return the C angle } var pas = t.slice(1) .map(tp => findAngle(p,tp,t[0])), // find the angle between (p,t[0]) with (t[1],t[0]) & (t[2],t[0]) ta = findAngle(t[1],t[2],t[0]); return pas[0] < ta && pas[1] < ta && isInBorder(t[1],t[2],t[0],p); } var triangle = [{x:3, y:4},{x:10, y:8},{x:6, y:10}], point1 = {x:3, y:9}, point2 = {x:7, y:9}; console.log(isInTriangle(triangle,point1)); console.log(isInTriangle(triangle,point2));
这是确定一个点是在三角形的内、外还是在三角形的臂上的最简单的概念。
用行列式确定三角形内的点:
最简单的工作代码:
#-*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
tri_points = [(1,1),(2,3),(3,1)]
def pisinTri(point,tri_points):
Dx , Dy = point
A,B,C = tri_points
Ax, Ay = A
Bx, By = B
Cx, Cy = C
M1 = np.array([ [Dx - Bx, Dy - By, 0],
[Ax - Bx, Ay - By, 0],
[1 , 1 , 1]
])
M2 = np.array([ [Dx - Ax, Dy - Ay, 0],
[Cx - Ax, Cy - Ay, 0],
[1 , 1 , 1]
])
M3 = np.array([ [Dx - Cx, Dy - Cy, 0],
[Bx - Cx, By - Cy, 0],
[1 , 1 , 1]
])
M1 = np.linalg.det(M1)
M2 = np.linalg.det(M2)
M3 = np.linalg.det(M3)
print(M1,M2,M3)
if(M1 == 0 or M2 == 0 or M3 ==0):
print("Point: ",point," lies on the arms of Triangle")
elif((M1 > 0 and M2 > 0 and M3 > 0)or(M1 < 0 and M2 < 0 and M3 < 0)):
#if products is non 0 check if all of their sign is same
print("Point: ",point," lies inside the Triangle")
else:
print("Point: ",point," lies outside the Triangle")
print("Vertices of Triangle: ",tri_points)
points = [(0,0),(1,1),(2,3),(3,1),(2,2),(4,4),(1,0),(0,4)]
for c in points:
pisinTri(c,tri_points)
其中一个最简单的方法来检查是否由三角形的顶点组成的面积 (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3)是否为正。
面积可由公式计算:
1/2 [x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
或者python代码可以写成:
def triangleornot(p1,p2,p3):
return (1/ 2) [p1[0](p2[1]–p3[1]) + p2[0] (p3[1]–p1[1]) + p3[0] (p1[0]–p2[0])]