If the numbers are evenly distributed we can use Counting sort. We should keep the number of times that each number is repeated in an array. Available space is: 1 MB - 3 KB = 1045504 B or 8364032 bits Number of bits per number= 8364032/1000000 = 8 Therefore, we can store the number of times each number is repeated to the maximum of 2^8-1=255. Using this approach we have an extra 364032 bits unused that can be used to handle cases where a number is repeated more than 255 times. For example we can say a number 255 indicates a repetition greater than or equal to 255. In this case we should store a sequence of numbers+repetitions. We can handle 7745 special cases as shown bellow:

364032/(表示每个数字所需的位数+表示100万所需的位数)= 364032 / (27+20)=7745

我在这里的建议很大程度上归功于Dan的解决方案

首先，我假设解决方案必须处理所有可能的输入列表。我认为流行的答案并没有做出这样的假设(在我看来这是一个巨大的错误)。

众所周知，任何形式的无损压缩都不会减小所有输入的大小。

所有流行的答案都假设它们能够有效地应用压缩来允许它们有额外的空间。事实上，一个足够大的额外空间块，以未压缩的形式保存他们部分完成的列表的一部分，并允许他们执行排序操作。这只是一个糟糕的假设。

对于这样的解决方案，任何了解如何进行压缩的人都能够设计一些不能很好地压缩该方案的输入数据，并且“解决方案”很可能会由于空间不足而崩溃。

相反，我采用数学方法。我们可能的输出是所有长度为LEN的列表，由0..MAX范围内的元素组成。这里LEN是1,000,000,MAX是100,000,000。

对于任意的LEN和MAX，编码此状态所需的比特数为:

Log2(MAX multichoice LEN)

因此，对于我们的数字，一旦我们完成了接收和排序，我们将需要至少Log2(100,000,000 MC 1,000,000)位来存储我们的结果，以一种能够唯一区分所有可能输出的方式。

这是~= 988kb。所以我们有足够的空间来存放结果。从这个角度来看，这是可能的。

[删除了无意义的漫谈，现在有更好的例子…]

最好的答案在这里。

另一个很好的答案是这里，它基本上使用插入排序作为函数，将列表扩展为一个元素(缓冲一些元素并进行预先排序，以允许一次插入多个元素，节省一些时间)。使用一个很好的压缩状态编码，7位增量的桶

基数树表示可以接近于处理这个问题，因为基数树利用了“前缀压缩”的优势。但是很难想象一个基树表表法可以在一个字节中表示单个节点——两个可能是极限。

但是，不管数据是如何表示的，一旦它被排序，它就可以以前缀压缩的形式存储，其中数字10、11和12将由001b、001b、001b表示，表示从前一个数字增加1。那么，也许10101b表示增量5,1101001b表示增量9，以此类推。

在所有可能的输入中，这个问题只有一个解决方案。作弊。

通过TCP读取m个值，其中m接近内存中可排序的最大值，可能是n/4。 对250,000(大约)个数字进行排序并输出。 重复做另外3个四分之三。 让接收方在处理时合并接收到的4个数字列表。(这并不比使用单个列表慢多少。)

如果数字的范围是有限的(只能有2个8位数，或者只有10个不同的8位数)，那么你可以编写一个优化的排序算法。但如果你想对所有可能的8位数进行排序，这在内存那么少的情况下是不可能的。

下面是这类问题的一般解决方案:

一般程序

所采取的方法如下。该算法在一个32位字的缓冲区上操作。它在循环中执行以下过程:

We start with a buffer filled with compressed data from the last iteration. The buffer looks like this |compressed sorted|empty| Calculate the maximum amount of numbers that can be stored in this buffer, both compressed and uncompressed. Split the buffer into these two sections, beginning with the space for compressed data, ending with the uncompressed data. The buffer looks like |compressed sorted|empty|empty| Fill the uncompressed section with numbers to be sorted. The buffer looks like |compressed sorted|empty|uncompressed unsorted| Sort the new numbers with an in-place sort. The buffer looks like |compressed sorted|empty|uncompressed sorted| Right-align any already compressed data from the previous iteration in the compressed section. At this point the buffer is partitioned |empty|compressed sorted|uncompressed sorted| Perform a streaming decompression-recompression on the compressed section, merging in the sorted data in the uncompressed section. The old compressed section is consumed as the new compressed section grows. The buffer looks like |compressed sorted|empty|

执行此过程，直到所有数字都已排序。

压缩

当然，这种算法只有在知道实际要压缩什么之前，才有可能计算出新排序缓冲区的最终压缩大小。其次，压缩算法需要足够好来解决实际问题。

所使用的方法使用三个步骤。首先，算法将始终存储排序序列，因此我们可以只存储连续条目之间的差异。每个差值都在[0,99999999]的范围内。

这些差异随后被编码为一元比特流。这个流中的1表示“向累加器添加1,0表示“将累加器作为一个条目发出，并重置”。所以差N由N个1和1个0表示。

所有差异的和将接近算法支持的最大值，所有差异的计数将接近算法中插入的值的数量。这意味着我们期望流在最后包含最大值1和计数0。这允许我们计算流中0和1的期望概率。即，0的概率为count/(count+maxval)， 1的概率为maxval/(count+maxval)。

我们使用这些概率来定义这个比特流上的算术编码模型。这个算术代码将在最佳空间中精确地编码1和0的数量。我们可以计算该模型对于任何中间位流所使用的空间:bits = encoded * log2(1 + amount / maxval) + maxval * log2(1 + maxval / amount)。若要计算算法所需的总空间，请将encoded设置为amount。

为了不需要大量的迭代，可以向缓冲区添加少量开销。这将确保算法将至少对适合这个开销的数量进行操作，因为到目前为止，算法最大的时间成本是每个周期的算术编码压缩和解压缩。

除此之外，在算术编码算法的定点近似中，存储簿记数据和处理轻微的不准确性是需要一些开销的，但总的来说，即使使用可以包含8000个数字的额外缓冲区，该算法也能够容纳1MiB的空间，总共1043916字节的空间。

最优

除了减少算法的开销外，理论上不可能得到更小的结果。为了仅仅包含最终结果的熵，1011717个字节是必要的。如果我们减去为提高效率而增加的额外缓冲区，该算法使用1011916字节来存储最终结果+开销。