记住,

log(n!) = log(1) + log(2) + ... + log(n-1) + log(n)

你可以通过

log(1) + log(2) + ... + log(n) <= log(n) + log(n) + ... + log(n)
                                = n*log(n)

你可以通过类似的方法得到下界在丢掉和的前半部分之后

log(1) + ... + log(n/2) + ... + log(n) >= log(n/2) + ... + log(n) 
                                       = log(n/2) + log(n/2+1) + ... + log(n-1) + log(n)
                                       >= log(n/2) + ... + log(n/2)
                                        = n/2 * log(n/2) 

这可能会有帮助:

eln(x) = x

and

(lm)n = lm*n

参见斯特林近似:

-不，不，不。

后两项的重要性小于前一项。

更进一步，米克·夏普留给你的

它的推导很简单: 参见http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm ->群论

log(n!)=log(n*(n-1)*(n-2)*…* 2*1)=log(n)+log(n-1)+…+ log(2) + log(1)

把n看成无限大。无穷减一是多少?还是- 2 ?等。

日志（inf）+日志（inf）+日志（inf）+…= inf*log(inf)

然后把无穷看做n。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation 斯特林近似可能对你有帮助。它在处理与10^10及以上数量级的巨大数字相关的阶乘问题时非常有用。

我知道这是一个有公认答案的老问题，但这些答案实际上都没有使用暗示所建议的方法。

这是一个非常简单的论证:

n !(= 1*2*3*…*n)是n个小于或等于n的数的乘积，因此它小于n个都等于n的数的乘积;也就是说,n ^ n。

一半的数字，即n/2个，在n!乘积大于或等于n/2。因此它们的乘积大于n/2个数的乘积都等于n/2;例如(n / 2) ^ (n / 2)。

全程记录日志以建立结果。

谢谢，我发现你的答案令人信服，但在我的情况下，我必须使用Θ属性:

log(n!) = Θ(n·log n) =>  log(n!) = O(n log n) and log(n!) = Ω(n log n)

为了验证这个问题，我找到了这个网站，在那里你有所有的过程解释:http://www.mcs.sdsmt.edu/ecorwin/cs372/handouts/theta_n_factorial.htm

对于下界，

lg(n!) = lg(n)+lg(n-1)+...+lg(n/2)+...+lg2+lg1
       >= lg(n/2)+lg(n/2)+...+lg(n/2)+ ((n-1)/2) lg 2 (leave last term lg1(=0); replace first n/2 terms as lg(n/2); replace last (n-1)/2 terms as lg2 which will make cancellation easier later)
       = n/2 lg(n/2) + (n/2) lg 2 - 1/2 lg 2
       = n/2 lg n - (n/2)(lg 2) + n/2 - 1/2
       = n/2 lg n - 1/2

lg（n！） >= （1/2） （n lg n - 1）

结合两个边界:

1/2 (nlgn - 1) <= lg(n!) <= nlgn

通过选择大于(1/2)的下界常数，我们可以补偿括号内的-1。

因此lk(n!) = (nlgn)

对不起，我不知道如何在stackoverflow上使用LaTeX语法。

如果你重新构造这个问题，你可以用微积分来解决它!这个方法最初是通过Arthur Breitman https://twitter.com/ArthurB/status/1436023017725964290向我展示的。

首先，求log(x)从1到n的积分得到n*log(n) -n +1。这证明了一个严格的上界，因为log是单调的，对于每一个点n，从n到n+1对log(n) >log (n) * 1积分。你也可以用log(x-1)来设定下限，对于每一个点n, 1*log(n) >从x=n-1到n对log(x)积分。log(x)从0到n-1的积分是(n-1)*(log(n-1) -1)或者n log(n-1) -n -log(n-1)+1。

这是非常严格的界限!