我要证明log(n!) = Θ(n·log(n))
给出了一个提示，我应该用nn表示上界，用(n/2)(n/2)表示下界。这对我来说不是那么直观。为什么会这样呢?我可以清楚地看到如何将nn转换为n·log(n)(即方程两边都取对数)，但这有点倒过来了。
解决这个问题的正确方法是什么?我要画递归树吗?没有什么递归的，所以这似乎不是一个可能的方法。
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对不起，我不知道如何在stackoverflow上使用LaTeX语法。
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更进一步，米克·夏普留给你的
它的推导很简单: 参见http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm ->群论
log(n!)=log(n*(n-1)*(n-2)*…* 2*1)=log(n)+log(n-1)+…+ log(2) + log(1)
把n看成无限大。无穷减一是多少?还是- 2 ?等。
日志（inf）+日志（inf）+日志（inf）+…= inf*log(inf)
然后把无穷看做n。
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation 斯特林近似可能对你有帮助。它在处理与10^10及以上数量级的巨大数字相关的阶乘问题时非常有用。
我知道这是一个有公认答案的老问题，但这些答案实际上都没有使用暗示所建议的方法。
这是一个非常简单的论证:
n !(= 1*2*3*…*n)是n个小于或等于n的数的乘积，因此它小于n个都等于n的数的乘积;也就是说,n ^ n。
一半的数字，即n/2个，在n!乘积大于或等于n/2。因此它们的乘积大于n/2个数的乘积都等于n/2;例如(n / 2) ^ (n / 2)。
全程记录日志以建立结果。
如果你重新构造这个问题，你可以用微积分来解决它!这个方法最初是通过Arthur Breitman https://twitter.com/ArthurB/status/1436023017725964290向我展示的。
首先，求log(x)从1到n的积分得到n*log(n) -n +1。这证明了一个严格的上界，因为log是单调的，对于每一个点n，从n到n+1对log(n) >log (n) * 1积分。你也可以用log(x-1)来设定下限，对于每一个点n, 1*log(n) >从x=n-1到n对log(x)积分。log(x)从0到n-1的积分是(n-1)*(log(n-1) -1)或者n log(n-1) -n -log(n-1)+1。
这是非常严格的界限!
参见斯特林近似:
-不，不，不。
后两项的重要性小于前一项。
