对于下界，

lg(n!) = lg(n)+lg(n-1)+...+lg(n/2)+...+lg2+lg1
       >= lg(n/2)+lg(n/2)+...+lg(n/2)+ ((n-1)/2) lg 2 (leave last term lg1(=0); replace first n/2 terms as lg(n/2); replace last (n-1)/2 terms as lg2 which will make cancellation easier later)
       = n/2 lg(n/2) + (n/2) lg 2 - 1/2 lg 2
       = n/2 lg n - (n/2)(lg 2) + n/2 - 1/2
       = n/2 lg n - 1/2

lg（n！） >= （1/2） （n lg n - 1）

结合两个边界:

1/2 (nlgn - 1) <= lg(n!) <= nlgn

通过选择大于(1/2)的下界常数，我们可以补偿括号内的-1。

因此lk(n!) = (nlgn)

对于下界，

lg(n!) = lg(n)+lg(n-1)+...+lg(n/2)+...+lg2+lg1
       >= lg(n/2)+lg(n/2)+...+lg(n/2)+ ((n-1)/2) lg 2 (leave last term lg1(=0); replace first n/2 terms as lg(n/2); replace last (n-1)/2 terms as lg2 which will make cancellation easier later)
       = n/2 lg(n/2) + (n/2) lg 2 - 1/2 lg 2
       = n/2 lg n - (n/2)(lg 2) + n/2 - 1/2
       = n/2 lg n - 1/2

lg（n！） >= （1/2） （n lg n - 1）

结合两个边界:

1/2 (nlgn - 1) <= lg(n!) <= nlgn

通过选择大于(1/2)的下界常数，我们可以补偿括号内的-1。

因此lk(n!) = (nlgn)

更进一步，米克·夏普留给你的

它的推导很简单: 参见http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm ->群论

log(n!)=log(n*(n-1)*(n-2)*…* 2*1)=log(n)+log(n-1)+…+ log(2) + log(1)

把n看成无限大。无穷减一是多少?还是- 2 ?等。

日志（inf）+日志（inf）+日志（inf）+…= inf*log(inf)

然后把无穷看做n。

我知道这是一个有公认答案的老问题，但这些答案实际上都没有使用暗示所建议的方法。

这是一个非常简单的论证:

n !(= 1*2*3*…*n)是n个小于或等于n的数的乘积，因此它小于n个都等于n的数的乘积;也就是说,n ^ n。

一半的数字，即n/2个，在n!乘积大于或等于n/2。因此它们的乘积大于n/2个数的乘积都等于n/2;例如(n / 2) ^ (n / 2)。

全程记录日志以建立结果。

如果你重新构造这个问题，你可以用微积分来解决它!这个方法最初是通过Arthur Breitman https://twitter.com/ArthurB/status/1436023017725964290向我展示的。

首先，求log(x)从1到n的积分得到n*log(n) -n +1。这证明了一个严格的上界，因为log是单调的，对于每一个点n，从n到n+1对log(n) >log (n) * 1积分。你也可以用log(x-1)来设定下限，对于每一个点n, 1*log(n) >从x=n-1到n对log(x)积分。log(x)从0到n-1的积分是(n-1)*(log(n-1) -1)或者n log(n-1) -n -log(n-1)+1。

这是非常严格的界限!

这可能会有帮助:

eln(x) = x

and

(lm)n = lm*n