log(n!) = Θ(n·log(n))?

我要证明log(n!) = Θ(n·log(n))

给出了一个提示，我应该用nn表示上界，用(n/2)(n/2)表示下界。这对我来说不是那么直观。为什么会这样呢?我可以清楚地看到如何将nn转换为n·log(n)(即方程两边都取对数)，但这有点倒过来了。

解决这个问题的正确方法是什么?我要画递归树吗?没有什么递归的，所以这似乎不是一个可能的方法。

当前回答

谢谢，我发现你的答案令人信服，但在我的情况下，我必须使用Θ属性:

log(n!) = Θ(n·log n) =>  log(n!) = O(n log n) and log(n!) = Ω(n log n)

为了验证这个问题，我找到了这个网站，在那里你有所有的过程解释:http://www.mcs.sdsmt.edu/ecorwin/cs372/handouts/theta_n_factorial.htm

其他回答

参见斯特林近似:

-不，不，不。

后两项的重要性小于前一项。

对不起，我不知道如何在stackoverflow上使用LaTeX语法。

更进一步，米克·夏普留给你的

它的推导很简单: 参见http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm ->群论

log(n!)=log(n*(n-1)*(n-2)*…* 2*1)=log(n)+log(n-1)+…+ log(2) + log(1)

把n看成无限大。无穷减一是多少?还是- 2 ?等。

日志（inf）+日志（inf）+日志（inf）+…= inf*log(inf)

然后把无穷看做n。

这可能会有帮助:

e^ln(x) = x

and

(l^m)ⁿ = l^m*n

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation 斯特林近似可能对你有帮助。它在处理与10^10及以上数量级的巨大数字相关的阶乘问题时非常有用。

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