有没有O(1/n)种算法?
或者其他小于O(1)的数?
有没有O(1/n)种算法?
或者其他小于O(1)的数?
当前回答
大o符号表示算法与典型运行时不同的最坏情况。证明O(1/n)算法是O(1)算法很简单。根据定义, O(1/n)——> T(n) <= 1/n, for all n >= C > 0 O (1 / n)——> T (n) < = 1 / C,因为1 / n <所有n > = 1 / C = C O(1/n)——> O(1),因为大O符号忽略常数(即C的值无关紧要)
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是的。
只有一种算法运行时为O(1/n),即“空”算法。
对于O(1/n)的算法来说,这意味着它渐进地执行的步骤比由单个指令组成的算法少。如果对于所有n个> n0,它执行的步骤少于1步,则对于这n个,它必须完全不包含任何指令。由于检查' If n > n0'至少需要1条指令,因此对于所有n个,它必须不包含任何指令。
总结: 唯一的算法是O(1/n)是空算法,不包含任何指令。
这个问题并不像有些人认为的那样愚蠢。至少在理论上,当我们采用大O符号的数学定义时,像O(1/n)这样的东西是完全合理的:
现在你可以很容易地用g(x)代替1/x……很明显,上面的定义对于某个f仍然成立。
为了估计渐近运行时增长的目的,这是不太可行的……一个有意义的算法不能随着输入的增长而变得更快。当然,你可以构造一个任意的算法来实现这一点,例如下面这个:
def get_faster(list):
how_long = (1 / len(list)) * 100000
sleep(how_long)
显然,随着输入大小的增长,这个函数花费的时间更少,至少直到硬件强制的某个限制(数字的精度,睡眠可以等待的最小时间,处理参数的时间等):这个限制将是一个常数下界,因此实际上上面的函数仍然有运行时O(1)。
但实际上,在现实世界中,当输入大小增加时,运行时可能会减少(至少部分减少)。但是请注意,这些算法不会在O(1)以下表现出运行时行为。不过,它们还是很有趣的。以Horspool的非常简单的文本搜索算法为例。在这里,期望运行时将随着搜索模式长度的增加而减少(但是增加草堆长度将再次增加运行时)。
那么这个呢:
void FindRandomInList(list l)
{
while(1)
{
int rand = Random.next();
if (l.contains(rand))
return;
}
}
随着列表大小的增加,程序的预期运行时间会减少。
有次线性算法。事实上,Bayer-Moore搜索算法就是一个很好的例子。
如果解决方案存在,它可以在常数时间=立即准备和访问。例如,如果您知道排序查询是针对倒序的,则使用LIFO数据结构。然后,假设选择了适当的模型(LIFO),数据就已经排序了。