我更喜欢尽可能少的正式定义和简单的数学。
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actualAlgorithmTime(N) ∈ O(bound(N))
e.g. "time to mergesort N elements
is O(N log(N))"
actualAlgorithmTime(N) e.g. "mergesort_duration(N) "
────────────────────── < constant ───────────────────── < 2.5
bound(N) N log(N)
#handshakes(N)
────────────── ≈ 1/2
N²
N²/2 - N/2 (N²)/2 N/2 1/2
lim ────────── = lim ( ────── - ─── ) = lim ─── = 1/2
N→∞ N² N→∞ N² N² N→∞ 1
┕━━━┙
this is 0 in the limit of N→∞:
graph it, or plug in a really large number for N
这让我们做出这样的陈述......
我把时间的倍增到一个O(N)(“线性时间”)算法所需要的时间。
某些无形上级的算法(例如,非比较的O(N log(N))类型)可能具有如此大的恒定的因素(例如,100000*N log(N))),或相对较大的顶部,如O(N log(N))与隐藏的+100*N,它们很少值得使用,即使在“大数据”。
for(i=0; i<A; i++) // A * ...
some O(1) operation // 1
--> A*1 --> O(A) time
visualization:
|<------ A ------->|
1 2 3 4 5 x x ... x
other languages, multiplying orders of growth:
javascript, O(A) time and space
someListOfSizeA.map((x,i) => [x,i])
python, O(rows*cols) time and space
[[r*c for c in range(cols)] for r in range(rows)]
for every x in listOfSizeA: // A * (...
some O(1) operation // 1
some O(B) operation // B
for every y in listOfSizeC: // C * (...
some O(1) operation // 1))
--> O(A*(1 + B + C))
O(A*(B+C)) (1 is dwarfed)
visualization:
|<------ A ------->|
1 x x x x x x ... x
2 x x x x x x ... x ^
3 x x x x x x ... x |
4 x x x x x x ... x |
5 x x x x x x ... x B <-- A*B
x x x x x x x ... x |
................... |
x x x x x x x ... x v
x x x x x x x ... x ^
x x x x x x x ... x |
x x x x x x x ... x |
x x x x x x x ... x C <-- A*C
x x x x x x x ... x |
................... |
x x x x x x x ... x v
例子3:
function nSquaredFunction(n) {
total = 0
for i in 1..n: // N *
for j in 1..n: // N *
total += i*k // 1
return total
}
// O(n^2)
function nCubedFunction(a) {
for i in 1..n: // A *
print(nSquaredFunction(a)) // A^2
}
// O(a^3)
如果我们做一些有点复杂的事情,你可能仍然能够视觉地想象正在发生的事情:
for x in range(A):
for y in range(1..x):
simpleOperation(x*y)
x x x x x x x x x x |
x x x x x x x x x |
x x x x x x x x |
x x x x x x x |
x x x x x x |
x x x x x |
x x x x |
x x x |
x x |
x___________________|
<----------------------------- N ----------------------------->
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x
x
<----------------------------- N ----------------------------->
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x|x x x x x x x x|x x x x|x x|x
<----------------------------- N ----------------------------->
^ x x x x x x x x x x x x x x x x|x x x x x x x x x x x x x x x x
| x x x x x x x x|x x x x x x x x|x x x x x x x x|x x x x x x x x
lgN x x x x|x x x x|x x x x|x x x x|x x x x|x x x x|x x x x|x x x x
| x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x
v x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x
[myDictionary.has(x) for x in listOfSizeA]
\----- O(1) ------/
--> A*1 --> O(A)
混合和中型案例复杂性
(请参见中间案例和折扣分析之间的差异,如果您对此主题感兴趣。
数学 Addenda
其他回答
大 O 是算法使用时间/空间的尺寸,与其输入的尺寸相比。
如果一个算法是O(n),那么时间/空间将与其输入相同的速度增加。
如果一个算法是O(n2)则时间/空间增加以其输入的速度为方形。
等等等。
f(x) = k(x)g(x) k 与 a(如果 a = +∞,这意味着有 N 和 M 等数,以至于每个 x > N 的, < M 等数。
sin x = O(x) when x → 0. sin x = O(1) when x → +∞, x2 + x = O(x) when x → 0, x2 + x = O(x2) when x → +∞, ln(x) = o(x) = O(x) when x → +∞。
更多例子
这里来了大O,告诉我们这个数学是多么艰难。
现在他们要求我添加一个到十个!为什么我会这样做?我不想添加一个到六个?添加一个到十个......好......这会更难!
对于大 n 而言, n 平方比 n 更大。
一个:我选择一张卡在我们现在工作的地板部分,你可以为我选择一个,如果你愿意(第一次我们这样做,“我们现在工作的地板部分”是整个地板,当然。
大 O 告诉我们:这个类型需要 O(n log n) 工作完成,在中间情况下。
现在你知道我的朋友,大O,他帮助我们做不到工作,如果你知道大O,你也可以做不到工作!
你和我一起学到了这一切!你太聪明了!谢谢你!
现在这个工作已经完成了,让我们玩吧!
它切断到骨头,只提供关于算法的规模性质的信息,具体如何使用资源(思考时间或记忆)的算法规模,以回应“输入大小”。
考虑蒸汽发动机和火箭之间的差异. 它们不仅仅是相同的东西的不同品种(如说,一个Prius发动机与一个Lamborghini发动机),但它们是显著不同的类型的驱动系统,在它们的核心。
O(n2):被称为四方复杂性
1 件: 1 件 10 件: 100 件 100 件: 10,000 件
请注意,物品的数量增加了10个因素,但时间增加了102个因素。
O(n):被称为线性复杂性
1 件: 1 操作 10 件: 10 操作 100 件: 100 操作
这一次,元素的数量增加了10个因素,所以时间n=10,所以O(n)的规模因素是10。
O(1):被称为恒久复杂性
1 件: 1 操作 10 件: 2 操作 100 件: 3 操作 1000 件: 4 操作 10,000 件: 5 操作
他们降低了数学,所以它可能不是准确的n2或他们说它是什么,但这将是规模的支配因素。