我需要在半径为R的圆内生成一个均匀随机点。

我意识到,只要在区间[0…2π),且在区间(0…R)我最终会有更多的点指向中心,因为对于两个给定的半径,小半径内的点会比大半径内的点彼此更接近。

我在这里找到了一篇关于这个的博客文章,但我不明白他的推理。我认为这是正确的,但我真的很想知道他从哪里得到(2/R2)×r以及他如何得到最终解。


更新:在发布这个问题7年之后,关于平方根算法背后的数学问题,我仍然没有得到一个令人满意的答案。所以我花了一天时间自己写了一个答案。链接到我的答案。


当前回答

这可能会帮助那些对选择速度算法感兴趣的人;最快的方法是(可能?)拒绝抽样。

只需在单位正方形内生成一个点,并拒绝它,直到它在圆内。如(伪代码),

def sample(r=1):
    while True:
        x = random(-1, 1)
        y = random(-1, 1)
        if x*x + y*y <= 1:
            return (x, y) * r

虽然有时它可能运行不止一次或两次(而且它不是常量时间,也不适合并行执行),但它要快得多,因为它不使用像sin或cos这样复杂的公式。

其他回答

让我们像阿基米德那样处理这个问题。

我们如何在三角形ABC中均匀地生成一个点,其中|AB|=|BC|?让我们把它扩展到平行四边形ABCD。在ABCD中很容易均匀地生成点。我们均匀地选择AB上的X点和BC上的Y点并选择Z使XBYZ是一个平行四边形。为了在原始三角形中得到一个均匀选择的点,我们只需将ADC中出现的任何点沿AC折叠回ABC。

现在考虑一个圆。在极限情况下,我们可以把它想象成无穷多个等腰三角形ABC, B在原点,A和C在周长上,彼此逐渐接近。我们可以从这些三角形中选择一个角。所以我们现在需要通过在ABC条上选择一点来生成到中心的距离。同样,延伸到ABCD, D现在是圆中心半径的两倍。

使用上述方法可以很容易地在ABCD中选择一个随机点。在AB上随机选一个点,在BC上随机选一个点。Ie。在[0,R]上取一对随机数字x和y,给出离中心的距离。三角形是一条细条AB和BC本质上是平行的。所以Z点到原点的距离是x+y。如果x+y >r我们向下折叠。

这是R=1的完整算法。我希望你同意这很简单。它使用三角函数,但您可以保证它需要多长时间,以及需要多少次random()调用,这与拒绝抽样不同。

t = 2*pi*random()
u = random()+random()
r = if u>1 then 2-u else u
[r*cos(t), r*sin(t)]

这里是Mathematica。

f[] := Block[{u, t, r},
  u = Random[] + Random[];
  t = Random[] 2 Pi;
  r = If[u > 1, 2 - u, u];
  {r Cos[t], r Sin[t]}
]

ListPlot[Table[f[], {10000}], AspectRatio -> Automatic]

半径和“靠近”该半径的点的数量之间存在线性关系,因此他需要使用半径分布,这也使得半径r附近的数据点的数量与r成正比。

圆中的面积元是dA=rdr*dphi。这个额外的因子r破坏了你随机选择r和的想法。虽然phi分布平坦,但r不是,而是在1/r内平坦(也就是说,你更有可能击中边界而不是“靶心”)。

为了生成在圆上均匀分布的点从平面分布中选取r从1/r分布中选取。

或者使用Mehrdad提出的蒙特卡罗方法。

EDIT

要在1/r中选择一个随机的r,你可以从区间[1/ r,无穷]中选择一个随机的x,并计算r=1/x。R以1/ R为单位平坦分布。

为了计算一个随机的,从区间[0,1]中选择一个随机的x,并计算=2*pi*x。

这取决于你对"均匀随机"的定义。这是一个微妙的点,你可以在这里的wiki页面上阅读更多关于它的内容:http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29,在这里同样的问题,对“均匀随机”给出不同的解释会给出不同的答案!

根据你如何选择这些点,分布可能会有所不同,即使它们在某种意义上是均匀随机的。

It seems like the blog entry is trying to make it uniformly random in the following sense: If you take a sub-circle of the circle, with the same center, then the probability that the point falls in that region is proportional to the area of the region. That, I believe, is attempting to follow the now standard interpretation of 'uniformly random' for 2D regions with areas defined on them: probability of a point falling in any region (with area well defined) is proportional to the area of that region.

我不知道这个问题是否还有新的答案,但我自己碰巧也遇到过同样的问题。我试着跟自己“讲道理”寻找解决办法,我找到了一个。这可能和一些人在这里提出的建议是一样的,但不管怎样,它是这样的:

in order for two elements of the circle's surface to be equal, assuming equal dr's, we must have dtheta1/dtheta2 = r2/r1. Writing expression of the probability for that element as P(r, theta) = P{ r1< r< r1 + dr, theta1< theta< theta + dtheta1} = f(r,theta)*dr*dtheta1, and setting the two probabilities (for r1 and r2) equal, we arrive to (assuming r and theta are independent) f(r1)/r1 = f(r2)/r2 = constant, which gives f(r) = c*r. And the rest, determining the constant c follows from the condition on f(r) being a PDF.