我需要在半径为R的圆内生成一个均匀随机点。
我意识到,只要在区间[0…2π),且在区间(0…R)我最终会有更多的点指向中心,因为对于两个给定的半径,小半径内的点会比大半径内的点彼此更接近。
我在这里找到了一篇关于这个的博客文章,但我不明白他的推理。我认为这是正确的,但我真的很想知道他从哪里得到(2/R2)×r以及他如何得到最终解。
更新:在发布这个问题7年之后,关于平方根算法背后的数学问题,我仍然没有得到一个令人满意的答案。所以我花了一天时间自己写了一个答案。链接到我的答案。
我需要在半径为R的圆内生成一个均匀随机点。
我意识到,只要在区间[0…2π),且在区间(0…R)我最终会有更多的点指向中心,因为对于两个给定的半径,小半径内的点会比大半径内的点彼此更接近。
我在这里找到了一篇关于这个的博客文章,但我不明白他的推理。我认为这是正确的,但我真的很想知道他从哪里得到(2/R2)×r以及他如何得到最终解。
更新:在发布这个问题7年之后,关于平方根算法背后的数学问题,我仍然没有得到一个令人满意的答案。所以我花了一天时间自己写了一个答案。链接到我的答案。
当前回答
朴素解不起作用的原因是它给了靠近圆中心的点更高的概率密度。换句话说,半径为r/2的圆被选中点的概率为r/2,但它的面积(点的数量)为*r^2/4。
因此,我们希望半径概率密度具有以下性质:
选择半径小于或等于给定r的概率必须与半径为r的圆的面积成正比(因为我们希望在点上有一个均匀的分布,面积越大意味着点越多)。
换句话说,我们希望在[0,r]之间选择半径的概率等于它在圆的总面积中所占的份额。圆的总面积是*R^2,半径为R的圆的面积是*R^2。因此,我们希望在[0,r]之间选择半径的概率为(pi*r^2)/(pi* r^2) = r^2/ r^2。
现在来算算:
The probability of choosing a radius between [0,r] is the integral of p(r) dr from 0 to r (that's just because we add all the probabilities of the smaller radii). Thus we want integral(p(r)dr) = r^2/R^2. We can clearly see that R^2 is a constant, so all we need to do is figure out which p(r), when integrated would give us something like r^2. The answer is clearly r * constant. integral(r * constant dr) = r^2/2 * constant. This has to be equal to r^2/R^2, therefore constant = 2/R^2. Thus you have the probability distribution p(r) = r * 2/R^2
Note: Another more intuitive way to think about the problem is to imagine that you are trying to give each circle of radius r a probability density equal to the proportion of the number of points it has on its circumference. Thus a circle which has radius r will have 2 * pi * r "points" on its circumference. The total number of points is pi * R^2. Thus you should give the circle r a probability equal to (2 * pi * r) / (pi * R^2) = 2 * r/R^2. This is much easier to understand and more intuitive, but it's not quite as mathematically sound.
其他回答
注意点密度与半径的平方反比成正比,因此不是从[0,r_max]中选择r,而是从[0,r_max^2]中选择r,然后计算你的坐标:
x = sqrt(r) * cos(angle)
y = sqrt(r) * sin(angle)
这就得到了圆盘上均匀的点分布。
http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html
这取决于你对"均匀随机"的定义。这是一个微妙的点,你可以在这里的wiki页面上阅读更多关于它的内容:http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29,在这里同样的问题,对“均匀随机”给出不同的解释会给出不同的答案!
根据你如何选择这些点,分布可能会有所不同,即使它们在某种意义上是均匀随机的。
It seems like the blog entry is trying to make it uniformly random in the following sense: If you take a sub-circle of the circle, with the same center, then the probability that the point falls in that region is proportional to the area of the region. That, I believe, is attempting to follow the now standard interpretation of 'uniformly random' for 2D regions with areas defined on them: probability of a point falling in any region (with area well defined) is proportional to the area of that region.
我不知道这个问题是否还有新的答案,但我自己碰巧也遇到过同样的问题。我试着跟自己“讲道理”寻找解决办法,我找到了一个。这可能和一些人在这里提出的建议是一样的,但不管怎样,它是这样的:
in order for two elements of the circle's surface to be equal, assuming equal dr's, we must have dtheta1/dtheta2 = r2/r1. Writing expression of the probability for that element as P(r, theta) = P{ r1< r< r1 + dr, theta1< theta< theta + dtheta1} = f(r,theta)*dr*dtheta1, and setting the two probabilities (for r1 and r2) equal, we arrive to (assuming r and theta are independent) f(r1)/r1 = f(r2)/r2 = constant, which gives f(r) = c*r. And the rest, determining the constant c follows from the condition on f(r) being a PDF.
你也可以用你的直觉。
圆的面积是*r^2
为r = 1
得到的面积是。让我们假设我们有某种函数f,它将N=10个点均匀分布在一个圆内。这个比值是10 /
现在我们把面积和点数翻倍
对于r=2和N=20
面积是4,比值是20/4或10/2。半径越大,比值就越小,因为它的增长是二次的,N是线性的。
为了解决这个问题,我们可以说
x = r^2
sqrt(x) = r
如果在极坐标下生成一个向量
length = random_0_1();
angle = random_0_2pi();
更多的点会落在中心周围。
length = sqrt(random_0_1());
angle = random_0_2pi();
长度不再是均匀分布的,但是向量现在是均匀分布的。
1)在-1和1之间随机选择一个X。
var X:Number = Math.random() * 2 - 1;
2)利用圆公式,在X和半径为1的情况下,计算Y的最大值和最小值:
var YMin:Number = -Math.sqrt(1 - X * X);
var YMax:Number = Math.sqrt(1 - X * X);
3)在这两个极端之间随机选择一个Y:
var Y:Number = Math.random() * (YMax - YMin) + YMin;
4)将您的位置和半径值合并到最终值中:
var finalX:Number = X * radius + pos.x;
var finalY:Number = Y * radois + pos.y;