注意点密度与半径的平方反比成正比，因此不是从[0,r_max]中选择r，而是从[0,r_max^2]中选择r，然后计算你的坐标:

x = sqrt(r) * cos(angle)
y = sqrt(r) * sin(angle)

这就得到了圆盘上均匀的点分布。

http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html

这里有一个快速而简单的解决方案。

在(0,1)范围内选择两个随机数，即a和b。如果b < a，则交换它们。你的观点是(b * R * cos(2 *π* a / b), b * R * sin(2 *π* a / b))。

您可以这样考虑这个解决方案。如果你把圆切开，然后把它拉直，你会得到一个直角三角形。把这个三角形缩小，你会得到一个从(0,0)到(1,0)到(1,1)再回到(0,0)的三角形，所有这些变换都会均匀地改变密度。你所做的就是在三角形中随机取一个点然后反过来得到圆中的一个点。

我曾经用过这个方法: 这可能是完全未优化的(即它使用了一个点数组，所以它不能用于大圆圈)，但它提供了足够的随机分布。如果你愿意，你可以跳过矩阵的创建，直接绘制。方法是随机化矩形中落在圆内的所有点。

bool[,] getMatrix(System.Drawing.Rectangle r) {
    bool[,] matrix = new bool[r.Width, r.Height];
    return matrix;
}

void fillMatrix(ref bool[,] matrix, Vector center) {
    double radius = center.X;
    Random r = new Random();
    for (int y = 0; y < matrix.GetLength(0); y++) {
        for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++)
        {
            double distance = (center - new Vector(x, y)).Length;
            if (distance < radius) {
                matrix[x, y] = r.NextDouble() > 0.5;
            }
        }
    }

}

private void drawMatrix(Vector centerPoint, double radius, bool[,] matrix) {
    var g = this.CreateGraphics();

    Bitmap pixel = new Bitmap(1,1);
    pixel.SetPixel(0, 0, Color.Black);

    for (int y = 0; y < matrix.GetLength(0); y++)
    {
        for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++)
        {
            if (matrix[x, y]) {
                g.DrawImage(pixel, new PointF((float)(centerPoint.X - radius + x), (float)(centerPoint.Y - radius + y)));
            }
        }
    }

    g.Dispose();
}

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
    System.Drawing.Rectangle r = new System.Drawing.Rectangle(100,100,200,200);
    double radius = r.Width / 2;
    Vector center = new Vector(r.Left + radius, r.Top + radius);
    Vector normalizedCenter = new Vector(radius, radius);
    bool[,] matrix = getMatrix(r);
    fillMatrix(ref matrix, normalizedCenter);
    drawMatrix(center, radius, matrix);
}

1)在-1和1之间随机选择一个X。

var X:Number = Math.random() * 2 - 1;

2)利用圆公式，在X和半径为1的情况下，计算Y的最大值和最小值:

var YMin:Number = -Math.sqrt(1 - X * X);
var YMax:Number = Math.sqrt(1 - X * X);

3)在这两个极端之间随机选择一个Y:

var Y:Number = Math.random() * (YMax - YMin) + YMin;

4)将您的位置和半径值合并到最终值中:

var finalX:Number = X * radius + pos.x;
var finalY:Number = Y * radois + pos.y;

你也可以用你的直觉。

圆的面积是*r^2

为r = 1

得到的面积是。让我们假设我们有某种函数f，它将N=10个点均匀分布在一个圆内。这个比值是10 /

现在我们把面积和点数翻倍

对于r=2和N=20

面积是4，比值是20/4或10/2。半径越大，比值就越小，因为它的增长是二次的，N是线性的。

为了解决这个问题，我们可以说

x = r^2
sqrt(x) = r

如果在极坐标下生成一个向量

length = random_0_1();
angle = random_0_2pi();

更多的点会落在中心周围。

length = sqrt(random_0_1());
angle = random_0_2pi();

长度不再是均匀分布的，但是向量现在是均匀分布的。

让我们像阿基米德那样处理这个问题。

我们如何在三角形ABC中均匀地生成一个点，其中|AB|=|BC|?让我们把它扩展到平行四边形ABCD。在ABCD中很容易均匀地生成点。我们均匀地选择AB上的X点和BC上的Y点并选择Z使XBYZ是一个平行四边形。为了在原始三角形中得到一个均匀选择的点，我们只需将ADC中出现的任何点沿AC折叠回ABC。

现在考虑一个圆。在极限情况下，我们可以把它想象成无穷多个等腰三角形ABC, B在原点，A和C在周长上，彼此逐渐接近。我们可以从这些三角形中选择一个角。所以我们现在需要通过在ABC条上选择一点来生成到中心的距离。同样，延伸到ABCD, D现在是圆中心半径的两倍。

使用上述方法可以很容易地在ABCD中选择一个随机点。在AB上随机选一个点，在BC上随机选一个点。Ie。在[0,R]上取一对随机数字x和y，给出离中心的距离。三角形是一条细条AB和BC本质上是平行的。所以Z点到原点的距离是x+y。如果x+y >r我们向下折叠。

这是R=1的完整算法。我希望你同意这很简单。它使用三角函数，但您可以保证它需要多长时间，以及需要多少次random()调用，这与拒绝抽样不同。

t = 2*pi*random()
u = random()+random()
r = if u>1 then 2-u else u
[r*cos(t), r*sin(t)]

这里是Mathematica。

f[] := Block[{u, t, r},
  u = Random[] + Random[];
  t = Random[] 2 Pi;
  r = If[u > 1, 2 - u, u];
  {r Cos[t], r Sin[t]}
]

ListPlot[Table[f[], {10000}], AspectRatio -> Automatic]