注意点密度与半径的平方反比成正比，因此不是从[0,r_max]中选择r，而是从[0,r_max^2]中选择r，然后计算你的坐标:

x = sqrt(r) * cos(angle)
y = sqrt(r) * sin(angle)

这就得到了圆盘上均匀的点分布。

http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html

这样一个有趣的问题。 一个点被选择的概率随着距离轴原点的增加而降低的基本原理在上面已经解释了多次。我们通过取U[0,1]的根来解释这一点。 下面是Python 3中正r的通解。

import numpy
import math
import matplotlib.pyplot as plt

def sq_point_in_circle(r):
    """
    Generate a random point in an r radius circle 
    centered around the start of the axis
    """

    t = 2*math.pi*numpy.random.uniform()
    R = (numpy.random.uniform(0,1) ** 0.5) * r

    return(R*math.cos(t), R*math.sin(t))

R = 200 # Radius
N = 1000 # Samples

points = numpy.array([sq_point_in_circle(R) for i in range(N)])
plt.scatter(points[:, 0], points[:,1])

注意点密度与半径的平方反比成正比，因此不是从[0,r_max]中选择r，而是从[0,r_max^2]中选择r，然后计算你的坐标:

x = sqrt(r) * cos(angle)
y = sqrt(r) * sin(angle)

这就得到了圆盘上均匀的点分布。

http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html

让我们像阿基米德那样处理这个问题。

我们如何在三角形ABC中均匀地生成一个点，其中|AB|=|BC|?让我们把它扩展到平行四边形ABCD。在ABCD中很容易均匀地生成点。我们均匀地选择AB上的X点和BC上的Y点并选择Z使XBYZ是一个平行四边形。为了在原始三角形中得到一个均匀选择的点，我们只需将ADC中出现的任何点沿AC折叠回ABC。

现在考虑一个圆。在极限情况下，我们可以把它想象成无穷多个等腰三角形ABC, B在原点，A和C在周长上，彼此逐渐接近。我们可以从这些三角形中选择一个角。所以我们现在需要通过在ABC条上选择一点来生成到中心的距离。同样，延伸到ABCD, D现在是圆中心半径的两倍。

使用上述方法可以很容易地在ABCD中选择一个随机点。在AB上随机选一个点，在BC上随机选一个点。Ie。在[0,R]上取一对随机数字x和y，给出离中心的距离。三角形是一条细条AB和BC本质上是平行的。所以Z点到原点的距离是x+y。如果x+y >r我们向下折叠。

这是R=1的完整算法。我希望你同意这很简单。它使用三角函数，但您可以保证它需要多长时间，以及需要多少次random()调用，这与拒绝抽样不同。

t = 2*pi*random()
u = random()+random()
r = if u>1 then 2-u else u
[r*cos(t), r*sin(t)]

这里是Mathematica。

f[] := Block[{u, t, r},
  u = Random[] + Random[];
  t = Random[] 2 Pi;
  r = If[u > 1, 2 - u, u];
  {r Cos[t], r Sin[t]}
]

ListPlot[Table[f[], {10000}], AspectRatio -> Automatic]

如何在半径为R的圆内随机生成一个点:

r = R * sqrt(random())
theta = random() * 2 * PI

(假设random()均匀地给出0到1之间的值)

如果你想把它转换成笛卡尔坐标，你可以做到

x = centerX + r * cos(theta)
y = centerY + r * sin(theta)

为什么sqrt(随机())?

让我们看看sqrt(random())之前的数学运算。为简单起见，假设我们是在单位圆上工作，即R = 1。

点与点之间的平均距离应该是相同的，不管我们看的距离中心有多远。这意味着，例如，观察一个周长为2的圆的周长，我们应该找到的点的数量是周长为1的圆周长上点的数量的两倍。

由于圆的周长(2πr)随r线性增长，因此随机点的数量应该随r线性增长。换句话说，期望的概率密度函数(PDF)线性增长。由于PDF的面积应该等于1，最大半径是1，我们有

所以我们知道随机值的理想密度应该是什么样的。 现在:当我们只有一个0到1之间的均匀随机值时，我们如何生成这样一个随机值?

我们用了一个叫做反变换采样的技巧

从PDF中创建累积分布函数(CDF) 沿着y = x镜像 将得到的函数应用于0到1之间的统一值。

听起来复杂吗?让我插入一段带有小侧轨的引语来传达直觉:

Suppose we want to generate a random point with the following distribution:                  That is 1/5 of the points uniformly between 1 and 2, and 4/5 of the points uniformly between 2 and 3. The CDF is, as the name suggests, the cumulative version of the PDF. Intuitively: While PDF(x) describes the number of random values at x, CDF(x) describes the number of random values less than x. In this case the CDF would look like:                  To see how this is useful, imagine that we shoot bullets from left to right at uniformly distributed heights. As the bullets hit the line, they drop down to the ground:                  See how the density of the bullets on the ground correspond to our desired distribution! We're almost there! The problem is that for this function, the y axis is the output and the x axis is the input. We can only "shoot bullets from the ground straight up"! We need the inverse function! This is why we mirror the whole thing; x becomes y and y becomes x:                  We call this CDF-1. To get values according to the desired distribution, we use CDF-1(random()).

所以，回到生成随机半径值，其中PDF等于2x。

步骤1:创建CDF: 由于我们处理的是实数，CDF表示为PDF的积分。

CDF（x） = ∫ 2x = x2

步骤2:沿y = x镜像CDF:

从数学上讲，这可以归结为交换x和y并求解y:

CDF: y = x2 交换:x = y2 解:y =√x CDF-1: y =√x

步骤3:将得到的函数应用于0到1之间的统一值

CDF-1(random()) =√random()

这就是我们要推导的:-)

这样想。如果你有一个矩形，其中一个轴是半径，一个是角，你取这个矩形内半径为0的点。它们都离原点很近(在圆上很近)然而，半径R附近的点，它们都落在圆的边缘附近(也就是说，彼此相距很远)。

这可能会让你知道为什么你会有这种行为。

在这个链接上导出的因子告诉你，矩形中有多少对应的区域需要调整，以便在映射到圆后不依赖于半径。

编辑:所以他在你分享的链接中写道，“通过计算累积分布的倒数，这很容易做到，我们得到r:”。

这里的基本前提是，通过将均匀分布映射为期望概率密度函数的累积分布函数的逆函数，可以从均匀分布创建一个具有期望分布的变量。为什么?现在把它当做理所当然，但这是事实。

这是我对数学的一些直观解释。密度函数f(r)关于r必须与r本身成比例。理解这个事实是任何微积分基础书的一部分。请参阅有关极区元素的部分。其他一些海报也提到了这一点。

我们记作f(r) = C*r;

这就是大部分的工作。现在，由于f(r)应该是一个概率密度，你可以很容易地看到，通过对f(r)在区间(0,r)上积分，你可以得到C = 2/ r ^2(这是给读者的练习)。

因此，f(r) = 2*r/ r ^2

好，这就是如何得到链接中的公式。

然后，最后一部分是从(0,1)中的均匀随机变量u你必须从这个期望密度f(r)映射到累积分布函数的逆函数。要理解为什么会这样，你可能需要找到像Papoulis这样的高级概率文本(或者自己推导)。

对f(r)积分得到f(r) = r^2/ r^2

为了求出它的反函数你设u = r^2/ r^2然后解出r，得到r = r *√(u)

直观上讲，u = 0映射到r = 0。同样，u = 1应该映射到r = r。同样，它通过平方根函数，这是有意义的，与链接匹配。