我需要在半径为R的圆内生成一个均匀随机点。
我意识到,只要在区间[0…2π),且在区间(0…R)我最终会有更多的点指向中心,因为对于两个给定的半径,小半径内的点会比大半径内的点彼此更接近。
我在这里找到了一篇关于这个的博客文章,但我不明白他的推理。我认为这是正确的,但我真的很想知道他从哪里得到(2/R2)×r以及他如何得到最终解。
更新:在发布这个问题7年之后,关于平方根算法背后的数学问题,我仍然没有得到一个令人满意的答案。所以我花了一天时间自己写了一个答案。链接到我的答案。
我需要在半径为R的圆内生成一个均匀随机点。
我意识到,只要在区间[0…2π),且在区间(0…R)我最终会有更多的点指向中心,因为对于两个给定的半径,小半径内的点会比大半径内的点彼此更接近。
我在这里找到了一篇关于这个的博客文章,但我不明白他的推理。我认为这是正确的,但我真的很想知道他从哪里得到(2/R2)×r以及他如何得到最终解。
更新:在发布这个问题7年之后,关于平方根算法背后的数学问题,我仍然没有得到一个令人满意的答案。所以我花了一天时间自己写了一个答案。链接到我的答案。
当前回答
下面是我的Python代码,从半径为rad的圆中生成num个随机点:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
rad = 10
num = 1000
t = np.random.uniform(0.0, 2.0*np.pi, num)
r = rad * np.sqrt(np.random.uniform(0.0, 1.0, num))
x = r * np.cos(t)
y = r * np.sin(t)
plt.plot(x, y, "ro", ms=1)
plt.axis([-15, 15, -15, 15])
plt.show()
其他回答
半径和“靠近”该半径的点的数量之间存在线性关系,因此他需要使用半径分布,这也使得半径r附近的数据点的数量与r成正比。
如何在半径为R的圆内随机生成一个点:
r = R * sqrt(random())
theta = random() * 2 * PI
(假设random()均匀地给出0到1之间的值)
如果你想把它转换成笛卡尔坐标,你可以做到
x = centerX + r * cos(theta)
y = centerY + r * sin(theta)
为什么sqrt(随机())?
让我们看看sqrt(random())之前的数学运算。为简单起见,假设我们是在单位圆上工作,即R = 1。
点与点之间的平均距离应该是相同的,不管我们看的距离中心有多远。这意味着,例如,观察一个周长为2的圆的周长,我们应该找到的点的数量是周长为1的圆周长上点的数量的两倍。
由于圆的周长(2πr)随r线性增长,因此随机点的数量应该随r线性增长。换句话说,期望的概率密度函数(PDF)线性增长。由于PDF的面积应该等于1,最大半径是1,我们有
所以我们知道随机值的理想密度应该是什么样的。 现在:当我们只有一个0到1之间的均匀随机值时,我们如何生成这样一个随机值?
我们用了一个叫做反变换采样的技巧
从PDF中创建累积分布函数(CDF) 沿着y = x镜像 将得到的函数应用于0到1之间的统一值。
听起来复杂吗?让我插入一段带有小侧轨的引语来传达直觉:
Suppose we want to generate a random point with the following distribution: That is 1/5 of the points uniformly between 1 and 2, and 4/5 of the points uniformly between 2 and 3. The CDF is, as the name suggests, the cumulative version of the PDF. Intuitively: While PDF(x) describes the number of random values at x, CDF(x) describes the number of random values less than x. In this case the CDF would look like: To see how this is useful, imagine that we shoot bullets from left to right at uniformly distributed heights. As the bullets hit the line, they drop down to the ground: See how the density of the bullets on the ground correspond to our desired distribution! We're almost there! The problem is that for this function, the y axis is the output and the x axis is the input. We can only "shoot bullets from the ground straight up"! We need the inverse function! This is why we mirror the whole thing; x becomes y and y becomes x: We call this CDF-1. To get values according to the desired distribution, we use CDF-1(random()).
所以,回到生成随机半径值,其中PDF等于2x。
步骤1:创建CDF: 由于我们处理的是实数,CDF表示为PDF的积分。
CDF(x) = ∫ 2x = x2
步骤2:沿y = x镜像CDF:
从数学上讲,这可以归结为交换x和y并求解y:
CDF: y = x2 交换:x = y2 解:y =√x CDF-1: y =√x
步骤3:将得到的函数应用于0到1之间的统一值
CDF-1(random()) =√random()
这就是我们要推导的:-)
我曾经用过这个方法: 这可能是完全未优化的(即它使用了一个点数组,所以它不能用于大圆圈),但它提供了足够的随机分布。如果你愿意,你可以跳过矩阵的创建,直接绘制。方法是随机化矩形中落在圆内的所有点。
bool[,] getMatrix(System.Drawing.Rectangle r) {
bool[,] matrix = new bool[r.Width, r.Height];
return matrix;
}
void fillMatrix(ref bool[,] matrix, Vector center) {
double radius = center.X;
Random r = new Random();
for (int y = 0; y < matrix.GetLength(0); y++) {
for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++)
{
double distance = (center - new Vector(x, y)).Length;
if (distance < radius) {
matrix[x, y] = r.NextDouble() > 0.5;
}
}
}
}
private void drawMatrix(Vector centerPoint, double radius, bool[,] matrix) {
var g = this.CreateGraphics();
Bitmap pixel = new Bitmap(1,1);
pixel.SetPixel(0, 0, Color.Black);
for (int y = 0; y < matrix.GetLength(0); y++)
{
for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++)
{
if (matrix[x, y]) {
g.DrawImage(pixel, new PointF((float)(centerPoint.X - radius + x), (float)(centerPoint.Y - radius + y)));
}
}
}
g.Dispose();
}
private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
System.Drawing.Rectangle r = new System.Drawing.Rectangle(100,100,200,200);
double radius = r.Width / 2;
Vector center = new Vector(r.Left + radius, r.Top + radius);
Vector normalizedCenter = new Vector(radius, radius);
bool[,] matrix = getMatrix(r);
fillMatrix(ref matrix, normalizedCenter);
drawMatrix(center, radius, matrix);
}
下面是我的Python代码,从半径为rad的圆中生成num个随机点:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
rad = 10
num = 1000
t = np.random.uniform(0.0, 2.0*np.pi, num)
r = rad * np.sqrt(np.random.uniform(0.0, 1.0, num))
x = r * np.cos(t)
y = r * np.sin(t)
plt.plot(x, y, "ro", ms=1)
plt.axis([-15, 15, -15, 15])
plt.show()
朴素解不起作用的原因是它给了靠近圆中心的点更高的概率密度。换句话说,半径为r/2的圆被选中点的概率为r/2,但它的面积(点的数量)为*r^2/4。
因此,我们希望半径概率密度具有以下性质:
选择半径小于或等于给定r的概率必须与半径为r的圆的面积成正比(因为我们希望在点上有一个均匀的分布,面积越大意味着点越多)。
换句话说,我们希望在[0,r]之间选择半径的概率等于它在圆的总面积中所占的份额。圆的总面积是*R^2,半径为R的圆的面积是*R^2。因此,我们希望在[0,r]之间选择半径的概率为(pi*r^2)/(pi* r^2) = r^2/ r^2。
现在来算算:
The probability of choosing a radius between [0,r] is the integral of p(r) dr from 0 to r (that's just because we add all the probabilities of the smaller radii). Thus we want integral(p(r)dr) = r^2/R^2. We can clearly see that R^2 is a constant, so all we need to do is figure out which p(r), when integrated would give us something like r^2. The answer is clearly r * constant. integral(r * constant dr) = r^2/2 * constant. This has to be equal to r^2/R^2, therefore constant = 2/R^2. Thus you have the probability distribution p(r) = r * 2/R^2
Note: Another more intuitive way to think about the problem is to imagine that you are trying to give each circle of radius r a probability density equal to the proportion of the number of points it has on its circumference. Thus a circle which has radius r will have 2 * pi * r "points" on its circumference. The total number of points is pi * R^2. Thus you should give the circle r a probability equal to (2 * pi * r) / (pi * R^2) = 2 * r/R^2. This is much easier to understand and more intuitive, but it's not quite as mathematically sound.