我需要在半径为R的圆内生成一个均匀随机点。

我意识到,只要在区间[0…2π),且在区间(0…R)我最终会有更多的点指向中心,因为对于两个给定的半径,小半径内的点会比大半径内的点彼此更接近。

我在这里找到了一篇关于这个的博客文章,但我不明白他的推理。我认为这是正确的,但我真的很想知道他从哪里得到(2/R2)×r以及他如何得到最终解。


更新:在发布这个问题7年之后,关于平方根算法背后的数学问题,我仍然没有得到一个令人满意的答案。所以我花了一天时间自己写了一个答案。链接到我的答案。


当前回答

1)在-1和1之间随机选择一个X。

var X:Number = Math.random() * 2 - 1;

2)利用圆公式,在X和半径为1的情况下,计算Y的最大值和最小值:

var YMin:Number = -Math.sqrt(1 - X * X);
var YMax:Number = Math.sqrt(1 - X * X);

3)在这两个极端之间随机选择一个Y:

var Y:Number = Math.random() * (YMax - YMin) + YMin;

4)将您的位置和半径值合并到最终值中:

var finalX:Number = X * radius + pos.x;
var finalY:Number = Y * radois + pos.y;

其他回答

半径和“靠近”该半径的点的数量之间存在线性关系,因此他需要使用半径分布,这也使得半径r附近的数据点的数量与r成正比。

圆中的面积元是dA=rdr*dphi。这个额外的因子r破坏了你随机选择r和的想法。虽然phi分布平坦,但r不是,而是在1/r内平坦(也就是说,你更有可能击中边界而不是“靶心”)。

为了生成在圆上均匀分布的点从平面分布中选取r从1/r分布中选取。

或者使用Mehrdad提出的蒙特卡罗方法。

EDIT

要在1/r中选择一个随机的r,你可以从区间[1/ r,无穷]中选择一个随机的x,并计算r=1/x。R以1/ R为单位平坦分布。

为了计算一个随机的,从区间[0,1]中选择一个随机的x,并计算=2*pi*x。

我认为在这种情况下,使用极坐标是一种使问题复杂化的方法,如果你在一个边长为2R的正方形中随机选择点,然后选择点(x,y)使x^2+y^2<=R^2,这将会容易得多。

程序员解决方案:

创建一个位图(布尔值的矩阵)。你想要多大就有多大。 在位图中画一个圆。 创建一个圆的点查找表。 在这个查找表中选择一个随机索引。

const int RADIUS = 64;
const int MATRIX_SIZE = RADIUS * 2;

bool matrix[MATRIX_SIZE][MATRIX_SIZE] = {0};

struct Point { int x; int y; };

Point lookupTable[MATRIX_SIZE * MATRIX_SIZE];

void init()
{
  int numberOfOnBits = 0;

  for (int x = 0 ; x < MATRIX_SIZE ; ++x)
  {
    for (int y = 0 ; y < MATRIX_SIZE ; ++y)
    {
      if (x * x + y * y < RADIUS * RADIUS) 
      {
        matrix[x][y] = true;

        loopUpTable[numberOfOnBits].x = x;
        loopUpTable[numberOfOnBits].y = y;

        ++numberOfOnBits;

      } // if
    } // for
  } // for
} // ()

Point choose()
{
  int randomIndex = randomInt(numberOfBits);

  return loopUpTable[randomIndex];
} // ()

位图仅用于解释逻辑。这是没有位图的代码:

const int RADIUS = 64;
const int MATRIX_SIZE = RADIUS * 2;

struct Point { int x; int y; };

Point lookupTable[MATRIX_SIZE * MATRIX_SIZE];

void init()
{
  int numberOfOnBits = 0;

  for (int x = 0 ; x < MATRIX_SIZE ; ++x)
  {
    for (int y = 0 ; y < MATRIX_SIZE ; ++y)
    {
      if (x * x + y * y < RADIUS * RADIUS) 
      {
        loopUpTable[numberOfOnBits].x = x;
        loopUpTable[numberOfOnBits].y = y;

        ++numberOfOnBits;
      } // if
    } // for
  } // for
} // ()

Point choose()
{
  int randomIndex = randomInt(numberOfBits);

  return loopUpTable[randomIndex];
} // ()

我不知道这个问题是否还有新的答案,但我自己碰巧也遇到过同样的问题。我试着跟自己“讲道理”寻找解决办法,我找到了一个。这可能和一些人在这里提出的建议是一样的,但不管怎样,它是这样的:

in order for two elements of the circle's surface to be equal, assuming equal dr's, we must have dtheta1/dtheta2 = r2/r1. Writing expression of the probability for that element as P(r, theta) = P{ r1< r< r1 + dr, theta1< theta< theta + dtheta1} = f(r,theta)*dr*dtheta1, and setting the two probabilities (for r1 and r2) equal, we arrive to (assuming r and theta are independent) f(r1)/r1 = f(r2)/r2 = constant, which gives f(r) = c*r. And the rest, determining the constant c follows from the condition on f(r) being a PDF.