我需要在半径为R的圆内生成一个均匀随机点。
我意识到，只要在区间[0…2π)，且在区间(0…R)我最终会有更多的点指向中心，因为对于两个给定的半径，小半径内的点会比大半径内的点彼此更接近。
我在这里找到了一篇关于这个的博客文章，但我不明白他的推理。我认为这是正确的，但我真的很想知道他从哪里得到(2/R2)×r以及他如何得到最终解。
更新:在发布这个问题7年之后，关于平方根算法背后的数学问题，我仍然没有得到一个令人满意的答案。所以我花了一天时间自己写了一个答案。链接到我的答案。
当前回答
这样想。如果你有一个矩形，其中一个轴是半径，一个是角，你取这个矩形内半径为0的点。它们都离原点很近(在圆上很近)然而，半径R附近的点，它们都落在圆的边缘附近(也就是说，彼此相距很远)。
这可能会让你知道为什么你会有这种行为。
在这个链接上导出的因子告诉你，矩形中有多少对应的区域需要调整，以便在映射到圆后不依赖于半径。
编辑:所以他在你分享的链接中写道，“通过计算累积分布的倒数，这很容易做到，我们得到r:”。
这里的基本前提是，通过将均匀分布映射为期望概率密度函数的累积分布函数的逆函数，可以从均匀分布创建一个具有期望分布的变量。为什么?现在把它当做理所当然，但这是事实。
这是我对数学的一些直观解释。密度函数f(r)关于r必须与r本身成比例。理解这个事实是任何微积分基础书的一部分。请参阅有关极区元素的部分。其他一些海报也提到了这一点。
我们记作f(r) = C*r;
这就是大部分的工作。现在，由于f(r)应该是一个概率密度，你可以很容易地看到，通过对f(r)在区间(0,r)上积分，你可以得到C = 2/ r ^2(这是给读者的练习)。
因此，f(r) = 2*r/ r ^2
好，这就是如何得到链接中的公式。
然后，最后一部分是从(0,1)中的均匀随机变量u你必须从这个期望密度f(r)映射到累积分布函数的逆函数。要理解为什么会这样，你可能需要找到像Papoulis这样的高级概率文本(或者自己推导)。
对f(r)积分得到f(r) = r^2/ r^2
为了求出它的反函数你设u = r^2/ r^2然后解出r，得到r = r *√(u)
直观上讲，u = 0映射到r = 0。同样，u = 1应该映射到r = r。同样，它通过平方根函数，这是有意义的，与链接匹配。
其他回答
注意点密度与半径的平方反比成正比，因此不是从[0,r_max]中选择r，而是从[0,r_max^2]中选择r，然后计算你的坐标:
x = sqrt(r) * cos(angle)
y = sqrt(r) * sin(angle)
这就得到了圆盘上均匀的点分布。
http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html
我不知道这个问题是否还有新的答案，但我自己碰巧也遇到过同样的问题。我试着跟自己“讲道理”寻找解决办法，我找到了一个。这可能和一些人在这里提出的建议是一样的，但不管怎样，它是这样的:
in order for two elements of the circle's surface to be equal, assuming equal dr's, we must have dtheta1/dtheta2 = r2/r1. Writing expression of the probability for that element as P(r, theta) = P{ r1< r< r1 + dr, theta1< theta< theta + dtheta1} = f(r,theta)*dr*dtheta1, and setting the two probabilities (for r1 and r2) equal, we arrive to (assuming r and theta are independent) f(r1)/r1 = f(r2)/r2 = constant, which gives f(r) = c*r. And the rest, determining the constant c follows from the condition on f(r) being a PDF.
首先我们生成一个cdf[x]
一点到圆心的距离小于x的概率。假设圆的半径为R。
显然，如果x = 0，那么cdf[0] = 0
显然，如果x是R，则cdf[R] = 1
显然，如果x = r，则cdf[r] = (r^2)/(r^2)
这是因为圆上的每个“小区域”都有相同的被选中的概率，所以概率与问题区域成比例。距离圆心x的面积是r^2
所以cdf[x] = x^2/R^2因为两者相互抵消了
我们有cdf[x]=x^2/R^2其中x从0到R
我们解出x
R^2 cdf[x] = x^2
x = R Sqrt[ cdf[x] ]
现在我们可以用一个从0到1的随机数来替换cdf
x = R Sqrt[ RandomReal[{0,1}] ]
最后
r = R Sqrt[ RandomReal[{0,1}] ];
theta = 360 deg * RandomReal[{0,1}];
{r,theta}
我们得到极坐标 {0.601168 R, 311.915°}
半径和“靠近”该半径的点的数量之间存在线性关系，因此他需要使用半径分布，这也使得半径r附近的数据点的数量与r成正比。
这取决于你对"均匀随机"的定义。这是一个微妙的点，你可以在这里的wiki页面上阅读更多关于它的内容:http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29，在这里同样的问题，对“均匀随机”给出不同的解释会给出不同的答案!
根据你如何选择这些点，分布可能会有所不同，即使它们在某种意义上是均匀随机的。
It seems like the blog entry is trying to make it uniformly random in the following sense: If you take a sub-circle of the circle, with the same center, then the probability that the point falls in that region is proportional to the area of the region. That, I believe, is attempting to follow the now standard interpretation of 'uniformly random' for 2D regions with areas defined on them: probability of a point falling in any region (with area well defined) is proportional to the area of that region.
