我仍然不确定确切的“(2/R2)×r”，但显而易见的是，在给定的单位“dr”中需要分配的点的数量，即r的增加将与R2成正比，而不是r。

check this way...number of points at some angle theta and between r (0.1r to 0.2r) i.e. fraction of the r and number of points between r (0.6r to 0.7r) would be equal if you use standard generation, since the difference is only 0.1r between two intervals. but since area covered between points (0.6r to 0.7r) will be much larger than area covered between 0.1r to 0.2r, the equal number of points will be sparsely spaced in larger area, this I assume you already know, So the function to generate the random points must not be linear but quadratic, (since number of points required to be distributed in given unit 'dr' i.e. increase in r will be proportional to r2 and not r), so in this case it will be inverse of quadratic, since the delta we have (0.1r) in both intervals must be square of some function so it can act as seed value for linear generation of points (since afterwords, this seed is used linearly in sin and cos function), so we know, dr must be quadratic value and to make this seed quadratic, we need to originate this values from square root of r not r itself, I hope this makes it little more clear.

我认为在这种情况下，使用极坐标是一种使问题复杂化的方法，如果你在一个边长为2R的正方形中随机选择点，然后选择点(x,y)使x^2+y^2<=R^2，这将会容易得多。

这可能会帮助那些对选择速度算法感兴趣的人;最快的方法是(可能?)拒绝抽样。

只需在单位正方形内生成一个点，并拒绝它，直到它在圆内。如(伪代码),

def sample(r=1):
    while True:
        x = random(-1, 1)
        y = random(-1, 1)
        if x*x + y*y <= 1:
            return (x, y) * r

虽然有时它可能运行不止一次或两次(而且它不是常量时间，也不适合并行执行)，但它要快得多，因为它不使用像sin或cos这样复杂的公式。

半径和“靠近”该半径的点的数量之间存在线性关系，因此他需要使用半径分布，这也使得半径r附近的数据点的数量与r成正比。

我曾经用过这个方法: 这可能是完全未优化的(即它使用了一个点数组，所以它不能用于大圆圈)，但它提供了足够的随机分布。如果你愿意，你可以跳过矩阵的创建，直接绘制。方法是随机化矩形中落在圆内的所有点。

bool[,] getMatrix(System.Drawing.Rectangle r) {
    bool[,] matrix = new bool[r.Width, r.Height];
    return matrix;
}

void fillMatrix(ref bool[,] matrix, Vector center) {
    double radius = center.X;
    Random r = new Random();
    for (int y = 0; y < matrix.GetLength(0); y++) {
        for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++)
        {
            double distance = (center - new Vector(x, y)).Length;
            if (distance < radius) {
                matrix[x, y] = r.NextDouble() > 0.5;
            }
        }
    }

}

private void drawMatrix(Vector centerPoint, double radius, bool[,] matrix) {
    var g = this.CreateGraphics();

    Bitmap pixel = new Bitmap(1,1);
    pixel.SetPixel(0, 0, Color.Black);

    for (int y = 0; y < matrix.GetLength(0); y++)
    {
        for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++)
        {
            if (matrix[x, y]) {
                g.DrawImage(pixel, new PointF((float)(centerPoint.X - radius + x), (float)(centerPoint.Y - radius + y)));
            }
        }
    }

    g.Dispose();
}

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
    System.Drawing.Rectangle r = new System.Drawing.Rectangle(100,100,200,200);
    double radius = r.Width / 2;
    Vector center = new Vector(r.Left + radius, r.Top + radius);
    Vector normalizedCenter = new Vector(radius, radius);
    bool[,] matrix = getMatrix(r);
    fillMatrix(ref matrix, normalizedCenter);
    drawMatrix(center, radius, matrix);
}

你也可以用你的直觉。

圆的面积是*r^2

为r = 1

得到的面积是。让我们假设我们有某种函数f，它将N=10个点均匀分布在一个圆内。这个比值是10 /

现在我们把面积和点数翻倍

对于r=2和N=20

面积是4，比值是20/4或10/2。半径越大，比值就越小，因为它的增长是二次的，N是线性的。

为了解决这个问题，我们可以说

x = r^2
sqrt(x) = r

如果在极坐标下生成一个向量

length = random_0_1();
angle = random_0_2pi();

更多的点会落在中心周围。

length = sqrt(random_0_1());
angle = random_0_2pi();

长度不再是均匀分布的，但是向量现在是均匀分布的。