这取决于你对"均匀随机"的定义。这是一个微妙的点，你可以在这里的wiki页面上阅读更多关于它的内容:http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29，在这里同样的问题，对“均匀随机”给出不同的解释会给出不同的答案!

根据你如何选择这些点，分布可能会有所不同，即使它们在某种意义上是均匀随机的。

It seems like the blog entry is trying to make it uniformly random in the following sense: If you take a sub-circle of the circle, with the same center, then the probability that the point falls in that region is proportional to the area of the region. That, I believe, is attempting to follow the now standard interpretation of 'uniformly random' for 2D regions with areas defined on them: probability of a point falling in any region (with area well defined) is proportional to the area of that region.

这取决于你对"均匀随机"的定义。这是一个微妙的点，你可以在这里的wiki页面上阅读更多关于它的内容:http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29，在这里同样的问题，对“均匀随机”给出不同的解释会给出不同的答案!

根据你如何选择这些点，分布可能会有所不同，即使它们在某种意义上是均匀随机的。

It seems like the blog entry is trying to make it uniformly random in the following sense: If you take a sub-circle of the circle, with the same center, then the probability that the point falls in that region is proportional to the area of the region. That, I believe, is attempting to follow the now standard interpretation of 'uniformly random' for 2D regions with areas defined on them: probability of a point falling in any region (with area well defined) is proportional to the area of that region.

Java解决方案和分发示例(2000分)

public void getRandomPointInCircle() {
    double t = 2 * Math.PI * Math.random();
    double r = Math.sqrt(Math.random());
    double x = r * Math.cos(t);
    double y = r * Math.sin(t);
    System.out.println(x);
    System.out.println(y);
}

基于以前的解决方案https://stackoverflow.com/a/5838055/5224246从@sigfpe

这样想。如果你有一个矩形，其中一个轴是半径，一个是角，你取这个矩形内半径为0的点。它们都离原点很近(在圆上很近)然而，半径R附近的点，它们都落在圆的边缘附近(也就是说，彼此相距很远)。

这可能会让你知道为什么你会有这种行为。

在这个链接上导出的因子告诉你，矩形中有多少对应的区域需要调整，以便在映射到圆后不依赖于半径。

编辑:所以他在你分享的链接中写道，“通过计算累积分布的倒数，这很容易做到，我们得到r:”。

这里的基本前提是，通过将均匀分布映射为期望概率密度函数的累积分布函数的逆函数，可以从均匀分布创建一个具有期望分布的变量。为什么?现在把它当做理所当然，但这是事实。

这是我对数学的一些直观解释。密度函数f(r)关于r必须与r本身成比例。理解这个事实是任何微积分基础书的一部分。请参阅有关极区元素的部分。其他一些海报也提到了这一点。

我们记作f(r) = C*r;

这就是大部分的工作。现在，由于f(r)应该是一个概率密度，你可以很容易地看到，通过对f(r)在区间(0,r)上积分，你可以得到C = 2/ r ^2(这是给读者的练习)。

因此，f(r) = 2*r/ r ^2

好，这就是如何得到链接中的公式。

然后，最后一部分是从(0,1)中的均匀随机变量u你必须从这个期望密度f(r)映射到累积分布函数的逆函数。要理解为什么会这样，你可能需要找到像Papoulis这样的高级概率文本(或者自己推导)。

对f(r)积分得到f(r) = r^2/ r^2

为了求出它的反函数你设u = r^2/ r^2然后解出r，得到r = r *√(u)

直观上讲，u = 0映射到r = 0。同样，u = 1应该映射到r = r。同样，它通过平方根函数，这是有意义的，与链接匹配。

你也可以用你的直觉。

圆的面积是*r^2

为r = 1

得到的面积是。让我们假设我们有某种函数f，它将N=10个点均匀分布在一个圆内。这个比值是10 /

现在我们把面积和点数翻倍

对于r=2和N=20

面积是4，比值是20/4或10/2。半径越大，比值就越小，因为它的增长是二次的，N是线性的。

为了解决这个问题，我们可以说

x = r^2
sqrt(x) = r

如果在极坐标下生成一个向量

length = random_0_1();
angle = random_0_2pi();

更多的点会落在中心周围。

length = sqrt(random_0_1());
angle = random_0_2pi();

长度不再是均匀分布的，但是向量现在是均匀分布的。

首先我们生成一个cdf[x]

一点到圆心的距离小于x的概率。假设圆的半径为R。

显然，如果x = 0，那么cdf[0] = 0

显然，如果x是R，则cdf[R] = 1

显然，如果x = r，则cdf[r] = (r^2)/(r^2)

这是因为圆上的每个“小区域”都有相同的被选中的概率，所以概率与问题区域成比例。距离圆心x的面积是r^2

所以cdf[x] = x^2/R^2因为两者相互抵消了

我们有cdf[x]=x^2/R^2其中x从0到R

我们解出x

R^2 cdf[x] = x^2

x = R Sqrt[ cdf[x] ]

现在我们可以用一个从0到1的随机数来替换cdf

x = R Sqrt[ RandomReal[{0,1}] ]

最后

r = R Sqrt[  RandomReal[{0,1}] ];
theta = 360 deg * RandomReal[{0,1}];
{r,theta}

我们得到极坐标 {0.601168 R, 311.915°}