我需要在半径为R的圆内生成一个均匀随机点。
我意识到，只要在区间[0…2π)，且在区间(0…R)我最终会有更多的点指向中心，因为对于两个给定的半径，小半径内的点会比大半径内的点彼此更接近。
我在这里找到了一篇关于这个的博客文章，但我不明白他的推理。我认为这是正确的，但我真的很想知道他从哪里得到(2/R2)×r以及他如何得到最终解。
更新:在发布这个问题7年之后，关于平方根算法背后的数学问题，我仍然没有得到一个令人满意的答案。所以我花了一天时间自己写了一个答案。链接到我的答案。
当前回答
这样一个有趣的问题。 一个点被选择的概率随着距离轴原点的增加而降低的基本原理在上面已经解释了多次。我们通过取U[0,1]的根来解释这一点。 下面是Python 3中正r的通解。
import numpy
import math
import matplotlib.pyplot as plt
def sq_point_in_circle(r):
"""
Generate a random point in an r radius circle
centered around the start of the axis
"""
t = 2*math.pi*numpy.random.uniform()
R = (numpy.random.uniform(0,1) ** 0.5) * r
return(R*math.cos(t), R*math.sin(t))
R = 200 # Radius
N = 1000 # Samples
points = numpy.array([sq_point_in_circle(R) for i in range(N)])
plt.scatter(points[:, 0], points[:,1])
其他回答
我认为在这种情况下，使用极坐标是一种使问题复杂化的方法，如果你在一个边长为2R的正方形中随机选择点，然后选择点(x,y)使x^2+y^2<=R^2，这将会容易得多。
这可能会帮助那些对选择速度算法感兴趣的人;最快的方法是(可能?)拒绝抽样。
只需在单位正方形内生成一个点，并拒绝它，直到它在圆内。如(伪代码),
def sample(r=1):
while True:
x = random(-1, 1)
y = random(-1, 1)
if x*x + y*y <= 1:
return (x, y) * r
虽然有时它可能运行不止一次或两次(而且它不是常量时间，也不适合并行执行)，但它要快得多，因为它不使用像sin或cos这样复杂的公式。
半径和“靠近”该半径的点的数量之间存在线性关系，因此他需要使用半径分布，这也使得半径r附近的数据点的数量与r成正比。
圆中的面积元是dA=rdr*dphi。这个额外的因子r破坏了你随机选择r和的想法。虽然phi分布平坦，但r不是，而是在1/r内平坦(也就是说，你更有可能击中边界而不是“靶心”)。
为了生成在圆上均匀分布的点从平面分布中选取r从1/r分布中选取。
或者使用Mehrdad提出的蒙特卡罗方法。
EDIT
要在1/r中选择一个随机的r，你可以从区间[1/ r，无穷]中选择一个随机的x，并计算r=1/x。R以1/ R为单位平坦分布。
为了计算一个随机的，从区间[0,1]中选择一个随机的x，并计算=2*pi*x。
1)在-1和1之间随机选择一个X。
var X:Number = Math.random() * 2 - 1;
2)利用圆公式，在X和半径为1的情况下，计算Y的最大值和最小值:
var YMin:Number = -Math.sqrt(1 - X * X);
var YMax:Number = Math.sqrt(1 - X * X);
3)在这两个极端之间随机选择一个Y:
var Y:Number = Math.random() * (YMax - YMin) + YMin;
4)将您的位置和半径值合并到最终值中:
var finalX:Number = X * radius + pos.x;
var finalY:Number = Y * radois + pos.y;
