我需要在半径为R的圆内生成一个均匀随机点。
我意识到，只要在区间[0…2π)，且在区间(0…R)我最终会有更多的点指向中心，因为对于两个给定的半径，小半径内的点会比大半径内的点彼此更接近。
我在这里找到了一篇关于这个的博客文章，但我不明白他的推理。我认为这是正确的，但我真的很想知道他从哪里得到(2/R2)×r以及他如何得到最终解。
更新:在发布这个问题7年之后，关于平方根算法背后的数学问题，我仍然没有得到一个令人满意的答案。所以我花了一天时间自己写了一个答案。链接到我的答案。
当前回答
这样一个有趣的问题。 一个点被选择的概率随着距离轴原点的增加而降低的基本原理在上面已经解释了多次。我们通过取U[0,1]的根来解释这一点。 下面是Python 3中正r的通解。
import numpy
import math
import matplotlib.pyplot as plt
def sq_point_in_circle(r):
"""
Generate a random point in an r radius circle
centered around the start of the axis
"""
t = 2*math.pi*numpy.random.uniform()
R = (numpy.random.uniform(0,1) ** 0.5) * r
return(R*math.cos(t), R*math.sin(t))
R = 200 # Radius
N = 1000 # Samples
points = numpy.array([sq_point_in_circle(R) for i in range(N)])
plt.scatter(points[:, 0], points[:,1])
其他回答
这里有一个快速而简单的解决方案。
在(0,1)范围内选择两个随机数，即a和b。如果b < a，则交换它们。你的观点是(b * R * cos(2 *π* a / b), b * R * sin(2 *π* a / b))。
您可以这样考虑这个解决方案。如果你把圆切开，然后把它拉直，你会得到一个直角三角形。把这个三角形缩小，你会得到一个从(0,0)到(1,0)到(1,1)再回到(0,0)的三角形，所有这些变换都会均匀地改变密度。你所做的就是在三角形中随机取一个点然后反过来得到圆中的一个点。
注意点密度与半径的平方反比成正比，因此不是从[0,r_max]中选择r，而是从[0,r_max^2]中选择r，然后计算你的坐标:
x = sqrt(r) * cos(angle)
y = sqrt(r) * sin(angle)
这就得到了圆盘上均匀的点分布。
http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html
半径和“靠近”该半径的点的数量之间存在线性关系，因此他需要使用半径分布，这也使得半径r附近的数据点的数量与r成正比。
这样想。如果你有一个矩形，其中一个轴是半径，一个是角，你取这个矩形内半径为0的点。它们都离原点很近(在圆上很近)然而，半径R附近的点，它们都落在圆的边缘附近(也就是说，彼此相距很远)。
这可能会让你知道为什么你会有这种行为。
在这个链接上导出的因子告诉你，矩形中有多少对应的区域需要调整，以便在映射到圆后不依赖于半径。
编辑:所以他在你分享的链接中写道，“通过计算累积分布的倒数，这很容易做到，我们得到r:”。
这里的基本前提是，通过将均匀分布映射为期望概率密度函数的累积分布函数的逆函数，可以从均匀分布创建一个具有期望分布的变量。为什么?现在把它当做理所当然，但这是事实。
这是我对数学的一些直观解释。密度函数f(r)关于r必须与r本身成比例。理解这个事实是任何微积分基础书的一部分。请参阅有关极区元素的部分。其他一些海报也提到了这一点。
我们记作f(r) = C*r;
这就是大部分的工作。现在，由于f(r)应该是一个概率密度，你可以很容易地看到，通过对f(r)在区间(0,r)上积分，你可以得到C = 2/ r ^2(这是给读者的练习)。
因此，f(r) = 2*r/ r ^2
好，这就是如何得到链接中的公式。
然后，最后一部分是从(0,1)中的均匀随机变量u你必须从这个期望密度f(r)映射到累积分布函数的逆函数。要理解为什么会这样，你可能需要找到像Papoulis这样的高级概率文本(或者自己推导)。
对f(r)积分得到f(r) = r^2/ r^2
为了求出它的反函数你设u = r^2/ r^2然后解出r，得到r = r *√(u)
直观上讲，u = 0映射到r = 0。同样，u = 1应该映射到r = r。同样，它通过平方根函数，这是有意义的，与链接匹配。
你也可以用你的直觉。
圆的面积是*r^2
为r = 1
得到的面积是。让我们假设我们有某种函数f，它将N=10个点均匀分布在一个圆内。这个比值是10 /
现在我们把面积和点数翻倍
对于r=2和N=20
面积是4，比值是20/4或10/2。半径越大，比值就越小，因为它的增长是二次的，N是线性的。
为了解决这个问题，我们可以说
x = r^2
sqrt(x) = r
如果在极坐标下生成一个向量
length = random_0_1();
angle = random_0_2pi();
更多的点会落在中心周围。
length = sqrt(random_0_1());
angle = random_0_2pi();
长度不再是均匀分布的，但是向量现在是均匀分布的。
