在10^8的范围内有10^6个值，所以平均每100个码点有一个值。存储第N个点到第(N+1)个点的距离。重复值的跳过值为0。这意味着跳跃平均需要7比特来存储，所以100万个跳跃将很适合我们的800万比特存储空间。

这些跳跃需要被编码成一个比特流，比如通过霍夫曼编码。插入是通过遍历比特流并在新值之后重写。通过遍历并写出隐含值来输出。出于实用性考虑，它可能被做成10^4个列表，每个列表包含10^4个代码点(平均100个值)。

随机数据的霍夫曼树可以通过假设跳跃长度上的泊松分布(均值=方差=100)先验地构建，但可以在输入上保留真实的统计数据，并用于生成处理病理病例的最佳树。

如果数字的范围是有限的(只能有2个8位数，或者只有10个不同的8位数)，那么你可以编写一个优化的排序算法。但如果你想对所有可能的8位数进行排序，这在内存那么少的情况下是不可能的。

假设这个任务是可能的。在输出之前，内存中会有一个百万个排序数字的表示。有多少种不同的表示法?由于可能有重复的数字，我们不能使用nCr(选择)，但有一种叫做multichoose的操作，它适用于多集。

在0..99,999,999范围内有22e2436455种方法来选择一百万个数字。 这需要8,093,730位来表示每个可能的组合，或1,011,717字节。

所以理论上是可能的，如果你能想出一个合理(足够)的数字排序表。例如，一个疯狂的表示可能需要一个10MB的查找表或数千行代码。

但是，如果“1M RAM”意味着100万个字节，那么显然没有足够的空间。事实上，多5%的内存使它在理论上成为可能，这对我来说意味着表示必须非常有效，可能是不理智的。

诀窍是将算法状态表示为“增量计数器”=“+”和“输出计数器”=“!”字符的压缩流，这是一个整数多集。例如，集合{0,3,3,4}将被表示为“!+++!!+!”，后面跟着任意数量的“+”字符。要修改多集，您可以输出字符，每次只保持恒定的解压缩量，并在以压缩形式流回之前进行适当的更改。

细节

我们知道最终集合中恰好有10^6个数字，所以最多有10^6个“!”字符。我们还知道我们的范围大小为10^8，这意味着最多有10^8个“+”字符。10^6 "的排列方式!s在10^8 "+"s中的值是(10^8 + 10^6)选10^6，因此指定某种特定的排列需要大约0.965 MiB '的数据。那太紧了。

我们可以独立对待每个角色而不超出我们的配额。“+”字符正好是“!”字符的100倍，如果我们忘记了它们是相互依赖的，那么每个字符是“+”的概率就简化为100:1。100:101的几率对应于每个字符0.08位，对于几乎相同的~0.965 MiB(忽略依赖关系在这种情况下只有~12位的代价!)

The simplest technique for storing independent characters with known prior probability is Huffman coding. Note that we need an impractically large tree (A huffman tree for blocks of 10 characters has an average cost per block of about 2.4 bits, for a total of ~2.9 Mib. A huffman tree for blocks of 20 characters has an average cost per block of about 3 bits, which is a total of ~1.8 MiB. We're probably going to need a block of size on the order of a hundred, implying more nodes in our tree than all the computer equipment that has ever existed can store.). However, ROM is technically "free" according to the problem and practical solutions that take advantage of the regularity in the tree will look essentially the same.

伪代码

Have a sufficiently large huffman tree (or similar block-by-block compression data) stored in ROM Start with a compressed string of 10^8 "+" characters. To insert the number N, stream out the compressed string until N "+" characters have gone past then insert a "!". Stream the recompressed string back over the previous one as you go, keeping a constant amount of buffered blocks to avoid over/under-runs. Repeat one million times: [input, stream decompress>insert>compress], then decompress to output

您只需要按顺序存储数字之间的差异，并使用编码来压缩这些序列号。我们有2^23位。我们将它分成6位块，让最后一位表示这个数字是否扩展到另外6位(5位加上扩展块)。

因此，000010是1,000100是2。000001100000表示128。现在，我们考虑用最坏的类型来表示不超过10,000,000的数字序列的差异。可能有10000000 /2^5的差异大于2^5,10000000 /2^10的差异大于2^10,10000000 /2^15的差异大于2^15，等等。

所以，我们把表示这个序列所需要的比特数相加。我们有1,000,000*6 +汇总(10,000,000/2^5)*6+汇总(10,000,000/2^10)*6+汇总(10,000,000/2^15)*6+汇总(10,000,000/2^20)*4=7935479。

2^24 = 8388608。由于8388608 > 7935479，我们应该很容易有足够的内存。我们可能还需要一点内存来存储插入新数字时的和。然后我们遍历这个序列，找到插入新数字的位置，如果必要的话减少下一个差值，并将它之后的所有内容都右移。

(我原来的答案是错误的，对不起，数学不好，见下面的休息。)

这个怎么样?

前27位存储您所看到的最小数字，然后是与下一个数字的差值，编码如下:5位存储用于存储差值的位数，然后是差值。使用00000表示您再次看到了该数字。

这是因为插入的数字越多，数字之间的平均差值就越小，所以当你添加更多的数字时，你用更少的比特来存储差值。我想这叫做增量表。

我能想到的最糟糕的情况是所有数字都等距(以100为间隔)，例如假设0是第一个数字:

000000000000000000000000000 00111 1100100
                            ^^^^^^^^^^^^^
                            a million times

27 + 1,000,000 * (5+7) bits = ~ 427k

Reddit来拯救你!

如果你要做的只是把它们排序，这个问题就简单了。它需要122k(100万比特)来存储你看到的数字(如果看到0，则第0位，如果看到2300，则第2300位，等等。

读取数字，将它们存储在位域中，然后在保持计数的同时将位移出。

但是，你必须记住你看过多少。我受到上面的子列表答案的启发，想出了这个方案:

用2位或27位代替1位:

00表示你没有看到这个数字。 01表示你看过一次 1表示你看过，接下来的26位是看了多少次。

我认为这是可行的:如果没有重复，你就有一个244k的列表。 在最坏的情况下，你看到每个数字两次(如果你看到一个数字三次，它会缩短列表的其余部分)，这意味着你不止一次看到了50,000个，你0次或1次看到了950,000个项目。

50,000 * 27 + 950,000 * 2 = 396.7k.

如果你使用以下编码，你可以做进一步的改进:

0表示你没有看到这个数字 10表示你看过一次 11是你计数的方式

这将导致平均280.7k的存储空间。

编辑:我周日早上的数学算错了。

最坏的情况是，我们两次看到50万个数字，所以数学就变成了:

500,000 *27 + 500,000 *2 = 1.77M

交替编码导致平均存储为

500,000 * 27 + 500,000 = 1.70M

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