f（a， b） = s（a+b） + a，其中 s（n） = n*（n+1）/2

这是一个函数，它是确定的。 它也是单射的——f映射不同(a,b)对的不同值。你可以证明 它使用的事实是:s(a+b+1)-s(a+b) = a+b+1 <一个。 它返回非常小的值——如果你打算用它来做数组索引，那很好，因为数组不需要很大。 它是缓存友好的——如果两个(a, b)对彼此接近，那么f将彼此接近的数字映射到它们(与其他方法相比)。

我不明白您所说的:

应该总是产生一个整数 不管是积极的还是消极的 整数的边

我如何在这个论坛写(大于)，(小于)字符?

Cantor pairing function is really one of the better ones out there considering its simple, fast and space efficient, but there is something even better published at Wolfram by Matthew Szudzik, here. The limitation of Cantor pairing function (relatively) is that the range of encoded results doesn't always stay within the limits of a 2N bit integer if the inputs are two N bit integers. That is, if my inputs are two 16 bit integers ranging from 0 to 2^16 -1, then there are 2^16 * (2^16 -1) combinations of inputs possible, so by the obvious Pigeonhole Principle, we need an output of size at least 2^16 * (2^16 -1), which is equal to 2^32 - 2^16, or in other words, a map of 32 bit numbers should be feasible ideally. This may not be of little practical importance in programming world.

康托配对函数:

(a + b) * (a + b + 1) / 2 + a; where a, b >= 0

两个最大最多16位整数(65535,65535)的映射将是8589803520，正如您所看到的，它不能适合32位。

进入Szudzik函数:

a >= b ? a * a + a + b : a + b * b;  where a, b >= 0

(65535, 65535)的映射现在将是4294967295，正如您所看到的，这是一个32位(0到2^32 -1)整数。这就是这个解决方案的理想之处，它只是利用了空间中的每一个点，所以没有什么比空间效率更高了。

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现在考虑到我们通常在语言/框架中处理各种大小的数字的有符号实现，让我们考虑从-(2^15)到2^15 -1的有符号16位整数(稍后我们将看到如何扩展输出以跨越有符号范围)。因为a和b必须是正的它们的取值范围是0到2^15 - 1。

康托配对函数:

两个最大最多的16位有符号整数(32767,32767)的映射将是2147418112，这恰好小于32位有符号整数的最大值。

现在是Szudzik函数:

(32767, 32767) => 1073741823, many small ..

让我们考虑负整数。我知道这超出了最初的问题，但只是详细说明，以帮助未来的游客。

康托配对函数:

A = a >= 0 ? 2 * a : -2 * a - 1;
B = b >= 0 ? 2 * b : -2 * b - 1;
(A + B) * (A + B + 1) / 2 + A;

(-32768， -32768) => 8589803520，即Int64。64位输出的16位输入可能是如此不可原谅!!

Szudzik的函数：

A = a >= 0 ? 2 * a : -2 * a - 1;
B = b >= 0 ? 2 * b : -2 * b - 1;
A >= B ? A * A + A + B : A + B * B;

(-32768， -32768) => 4294967295，对于无符号范围是32位，对于有符号范围是64位，但仍然更好。

现在所有这些输出都是正的。在有符号的世界中，如果我们能将输出的一半转移到负轴上，将会更加节省空间。对于Szudzik's，你可以这样做:

A = a >= 0 ? 2 * a : -2 * a - 1;
B = b >= 0 ? 2 * b : -2 * b - 1;
C = (A >= B ? A * A + A + B : A + B * B) / 2;
a < 0 && b < 0 || a >= 0 && b >= 0 ? C : -C - 1;

(-32768, 32767) => -2147483648

(32767, -32768) => -2147450880

(0, 0) => 0 

(32767, 32767) => 2147418112

(-32768, -32768) => 2147483647

我所做的:在对输入施加2的权重并遍历函数后，然后将输出除以2，并通过乘以-1将其中一些输出移到负轴。

看看结果，对于任何有符号的16位数字范围内的输入，输出都在有符号的32位整数的范围内，这很酷。我不确定如何对康托配对函数进行同样的处理，但没有尝试那么多，因为它不那么有效。此外，康托配对函数涉及的计算量更多，也意味着它的速度更慢。

下面是一个c#实现。

public static long PerfectlyHashThem(int a, int b)
{
    var A = (ulong)(a >= 0 ? 2 * (long)a : -2 * (long)a - 1);
    var B = (ulong)(b >= 0 ? 2 * (long)b : -2 * (long)b - 1);
    var C = (long)((A >= B ? A * A + A + B : A + B * B) / 2);
    return a < 0 && b < 0 || a >= 0 && b >= 0 ? C : -C - 1;
}

public static int PerfectlyHashThem(short a, short b)
{
    var A = (uint)(a >= 0 ? 2 * a : -2 * a - 1);
    var B = (uint)(b >= 0 ? 2 * b : -2 * b - 1);
    var C = (int)((A >= B ? A * A + A + B : A + B * B) / 2);
    return a < 0 && b < 0 || a >= 0 && b >= 0 ? C : -C - 1;
}

由于中间计算可能会超过2N有符号整数的限制，所以我使用了4N整数类型(最后除以2将结果带回2N)。

我提供的替代解决方案的链接很好地描绘了利用空间中的每一个点的函数图。令人惊讶的是，你可以将一对坐标可逆地唯一编码为一个数字!神奇的数字世界!!

如果A和B可以用2个字节表示，那么可以用4个字节组合它们。把A放在最有效的一半，B放在最不有效的一半。

在C语言中，这给出了(假设sizeof(short)=2和sizeof(int)=4):

unsigned int combine(unsigned short A, unsigned short B)
{
    return ((unsigned)A<<16) | (unsigned)B;
}

unsigned short getA(unsigned int C)
{
    return C>>16;
}

unsigned short getB(unsigned int C)
{
    return C & 0xFFFF;    // or  return (unsigned short)C;
}

使输入unsigned short或uint16_t确保他们在你|或+他们一起之前零扩展。否则- B会将上面的位设置为全1或，或者如果你添加，则从上半部分减去1。

强制转换(unsigned)A可以避免将窄类型默认提升为带符号int后左移的带符号溢出UB。对于更广泛的类型，也必须避免转移出位你保持，如((uint64_t)A << 32 | B，因为默认提升停止在int。

(unsigned)B强制转换是不必要的;重要的是它一开始是无符号空头B。左边的|是无符号的意味着它也将转换为无符号的。

你可以将它用于有符号类型，至少是getA和getB，你可以从combine返回有符号int，但是输入需要0 -extend，所以在C中你需要它们在扩大之前是无符号的short。比如((unsigned)(unsigned空头)A << 16) | (unsigned空头)B

你可能想要使用uint16_t和uint32_t，来定义类型宽度，以匹配你正在使用的移位计数。

你的建议是不可能的。总会有碰撞。

为了将两个对象映射到另一个单独的集合，映射的集合必须具有预期组合数量的最小大小:

假设有一个32位整数，则有2147483647个正整数。选择其中两个顺序无关紧要且具有重复的组合，将得到2305843008139952128个组合。这并不适合32位整数的集合。

不过，你可以把这个映射压缩成61位。使用64位整数可能是最简单的。将高的字设置为较小的整数，低的字设置为较大的整数。

构造一个映射并不难:

   1  2  3  4  5  use this mapping if (a,b) != (b,a)
1  0  1  3  6 10
2  2  4  7 11 16
3  5  8 12 17 23
4  9 13 18 24 31
5 14 19 25 32 40

   1  2  3  4  5 use this mapping if (a,b) == (b,a) (mirror)
1  0  1  2  4  6
2  1  3  5  7 10
3  2  5  8 11 14
4  4  8 11 15 19
5  6 10 14 19 24


    0  1 -1  2 -2 use this if you need negative/positive
 0  0  1  2  4  6
 1  1  3  5  7 10
-1  2  5  8 11 14
 2  4  8 11 15 19
-2  6 10 14 19 24

求任意a b的值有点难。

假设我们有两个数字B和C，把它们编码成一个数字A

A = b + c * n

在哪里

B= a % n = B

C= a / n = C