我想从另一个角度来解释Big-O。

Big-O只是用来比较程序的复杂性，也就是当输入增加时它们的增长速度有多快，而不是花在执行操作上的确切时间。

恕我直言，在大o公式中，你最好不要使用更复杂的方程(你可以坚持使用下图中的方程)。然而，你仍然可以使用其他更精确的公式(如3^n, n^3，…)，但有时会误导!所以还是尽量简单为好。

我想再次强调，这里我们不想得到一个精确的算法公式。我们只想展示当输入增加时它是如何增长的并在这方面与其他算法进行比较。否则，您最好使用不同的方法，如基准测试。

好问题!

免责声明:这个答案包含虚假陈述，见下面的评论。

如果您正在使用大O，那么您正在谈论的是最坏的情况(后面将详细介绍它的含义)。此外，在平均情况下有大写的theta，在最佳情况下有大的omega。

你可以在这个网站上找到大O的正式定义:https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/bigOnotation.html

f(n) = O(g(n))表示存在正常数c和k，使得当n≥k时0≤f(n)≤cg(n)。对于函数f, c和k的值必须是固定的，且不依赖于n。

好的，那么我们所说的"最佳情况"和"最坏情况"是什么意思呢?

这一点可以通过例子得到最清楚的说明。例如，如果我们使用线性搜索在一个排序数组中查找一个数字，那么最坏的情况是我们决定搜索数组的最后一个元素，因为这将花费与数组中有多少项一样多的步骤。最好的情况是当我们搜索第一个元素时，因为我们将在第一次检查之后完成。

The point of all these adjective-case complexities is that we're looking for a way to graph the amount of time a hypothetical program runs to completion in terms of the size of particular variables. However for many algorithms you can argue that there is not a single time for a particular size of input. Notice that this contradicts with the fundamental requirement of a function, any input should have no more than one output. So we come up with multiple functions to describe an algorithm's complexity. Now, even though searching an array of size n may take varying amounts of time depending on what you're looking for in the array and depending proportionally to n, we can create an informative description of the algorithm using best-case, average-case, and worst-case classes.

抱歉，这是如此糟糕的写作和缺乏太多的技术信息。但希望这能让时间复杂度类更容易理解。一旦你熟悉了这些，你就可以很简单地解析你的程序，寻找像for-loops这样依赖于数组大小的东西，并根据你的数据结构推理什么样的输入会导致简单的情况，什么样的输入会导致最坏的情况。

不要忘记考虑空间的复杂性，如果内存资源有限，这也是一个值得关注的问题。例如，你可能听到有人想要一个常数空间算法，这基本上是说算法所占用的空间量不依赖于代码中的任何因素。

有时，复杂性可能来自于某个东西被调用了多少次，循环执行的频率，内存分配的频率，等等，这是回答这个问题的另一部分。

最后，大O可以用于最坏情况、最佳情况和摊销情况，其中通常用最坏情况来描述算法可能有多糟糕。

至于“如何计算”大O，这是计算复杂性理论的一部分。对于一些(许多)特殊的情况，您可能会使用一些简单的启发式方法(例如为嵌套循环乘以循环计数)，特别是当您想要的只是任何上限估计时，并且您不介意它是否过于悲观——我猜这可能就是您的问题的内容。

如果你真的想回答任何算法的问题你能做的最好的就是应用这个理论。除了简单的“最坏情况”分析，我发现平摊分析在实践中非常有用。

除了使用主方法(或其专门化之一)之外，我还通过实验测试了我的算法。这不能证明达到了任何特定的复杂度等级，但它可以保证数学分析是适当的。为了保证这一点，我将代码覆盖工具与我的实验结合起来使用，以确保我使用了所有的案例。

作为一个非常简单的例子，假设你想要对. net框架的列表排序的速度进行完整性检查。你可以像下面这样写，然后在Excel中分析结果，以确保它们不超过n*log(n)曲线。

在这个例子中，我测量了比较的数量，但也要谨慎地检查每个样本量所需的实际时间。然而，您必须更加小心，因为您只是在度量算法，而不包括来自测试基础结构的工件。

int nCmp = 0;
System.Random rnd = new System.Random();

// measure the time required to sort a list of n integers
void DoTest(int n)
{
   List<int> lst = new List<int>(n);
   for( int i=0; i<n; i++ )
      lst[i] = rnd.Next(0,1000);

   // as we sort, keep track of the number of comparisons performed!
   nCmp = 0;
   lst.Sort( delegate( int a, int b ) { nCmp++; return (a<b)?-1:((a>b)?1:0)); }

   System.Console.Writeline( "{0},{1}", n, nCmp );
}


// Perform measurement for a variety of sample sizes.
// It would be prudent to check multiple random samples of each size, but this is OK for a quick sanity check
for( int n = 0; n<1000; n++ )
   DoTest(n);

我不知道如何通过编程来解决这个问题，但人们做的第一件事是我们对算法的特定模式进行抽样，比如4n²+ 2n + 1我们有两个规则:

如果我们有一个项的和，增长率最大的项被保留，其他项被省略。 如果我们有几个因数的乘积，常数因数就省略了。

如果我们化简f(x)，其中f(x)是所做操作数量的公式，(上文解释的4n²+ 2n + 1)，我们得到大O值[在这种情况下是O(n²)]。但这必须考虑到程序中的拉格朗日插值，这可能很难实现。如果真正的大O值是O(2^n)我们可能有O(x^n)这样的东西，那么这个算法可能是不可编程的。但如果有人证明我错了，给我代码. . . .