设n是非素数。因此，它至少有两个大于1的整数因子。设f是n个这样的因子中最小的。设f >√n，则n/f是一个≤√n的整数，因此小于f，因此f不可能是n的最小因子。反证法;N的最小因子必须≤根号N。

设n是非素数。因此，它至少有两个大于1的整数因子。设f是n个这样的因子中最小的。设f >√n，则n/f是一个≤√n的整数，因此小于f，因此f不可能是n的最小因子。反证法;N的最小因子必须≤根号N。

假设m =根号n，那么m × m = n。如果n不是质数，那么n可以写成n = a × b，所以m × m = a × b。注意，m是实数，而n、a和b是自然数。

现在有三种情况:

A > m⇒b < m ⇒A = m, b = m A < m⇒b > m

在这三种情况下，min(a, b)≤m。因此，如果我们搜索到m，我们一定会找到n的至少一个因子，这足以证明n不是质数。

假设我们有一个数字“a”，它不是质数[非质数/合数的意思是-一个可以被除1或它本身以外的数字整除的数字。例如，6可以被2或3整除，也可以被1或6整除。

6 = 1 × 6或6 = 2 × 3

如果a不是质数那么它可以被另外两个数除我们设这两个数是b和c。这意味着

a = b * c。

现在如果b或c，它们中的任何一个大于a的平方根那么b和c的乘积就会大于a。

因此，“b”或“c”总是<=“a”的平方根来证明方程“a=b*c”。

由于上述原因，当我们测试一个数字是否是质数时，我们只检查到该数字的平方根。

假设给定的整数N不是质数，

则N可分解为a和b两个因子，2 <= a, b < N使N = a*b。 显然，它们不能同时大于根号N。

让我们不失一般性地假设a更小。

现在，如果你找不到N的任何除数在[2，根号(N)]范围内，这意味着什么?

这意味着当N <=√(N)时，N在[2,a]中没有任何除数。

因此，a = 1且b = n，因此根据定义，n是素数。

...

如果您不满意，请继续阅读:

(a, b)可能有许多不同的组合。假设它们是:

(a1, b1)， (a2, b2)， (a3, b3)， .....， (ak, bk)。在不失一般性的前提下，假设ai < bi, 1<= i <=k。

现在，为了证明N不是质数它足以证明ai都不能被进一步分解。我们还知道ai <=根号N，因此你需要检查根号N，这将涵盖所有ai。这样你就能得出N是不是质数。

...

任何合数都是质数的乘积。

假设n = p1 * p2，其中p2 > p1，它们都是质数。

如果n % p1 === 0，则n是一个合数。

如果n % p2 === 0，那么猜猜n % p1 === 0 !

因此，如果n % p2 === 0，同时n % p1 !== 0，这是不可能的。 换句话说，如果一个合数n能被 p2、p3……PI(较大因子)也要除以最小因子p1。 事实证明，最低因子p1 <= Math.square(n)总是正确的。