假设给定的整数N不是质数，

则N可分解为a和b两个因子，2 <= a, b < N使N = a*b。 显然，它们不能同时大于根号N。

让我们不失一般性地假设a更小。

现在，如果你找不到N的任何除数在[2，根号(N)]范围内，这意味着什么?

这意味着当N <=√(N)时，N在[2,a]中没有任何除数。

因此，a = 1且b = n，因此根据定义，n是素数。

...

如果您不满意，请继续阅读:

(a, b)可能有许多不同的组合。假设它们是:

(a1, b1)， (a2, b2)， (a3, b3)， .....， (ak, bk)。在不失一般性的前提下，假设ai < bi, 1<= i <=k。

现在，为了证明N不是质数它足以证明ai都不能被进一步分解。我们还知道ai <=根号N，因此你需要检查根号N，这将涵盖所有ai。这样你就能得出N是不是质数。

...

其实就是基本的因式分解和平方根。

它可能看起来很抽象，但实际上它只是在于这样一个事实，即一个非质数的最大可能阶乘必须是它的平方根，因为:

sqrroot(n) * sqrroot(n) = n。

鉴于此，如果任何大于1且小于或大于√(n)的整数能被n整除，则n不可能是质数。

伪代码示例:

i = 2;

is_prime = true;

while loop (i <= sqrroot(n))
{
  if (n % i == 0)
  {
    is_prime = false;
    exit while;
  }
  ++i;
}

如果一个数n不是质数，它可以被分解成两个因子a和b:

n = a * b

现在a和b不可能都大于根号n，因为这样a * b就会大于根号n *根号n = n，所以在n的任何因式分解中，至少有一个因子必须小于根号n，如果我们找不到任何小于或等于根号的因子，n一定是质数。

因为如果一个因子大于根号n，那么与它相乘等于n的另一个因子必然小于根号n。

假设m =根号n，那么m × m = n。如果n不是质数，那么n可以写成n = a × b，所以m × m = a × b。注意，m是实数，而n、a和b是自然数。

现在有三种情况:

A > m⇒b < m ⇒A = m, b = m A < m⇒b > m

在这三种情况下，min(a, b)≤m。因此，如果我们搜索到m，我们一定会找到n的至少一个因子，这足以证明n不是质数。

假设给定的整数N不是质数，

则N可分解为a和b两个因子，2 <= a, b < N使N = a*b。 显然，它们不能同时大于根号N。

让我们不失一般性地假设a更小。

现在，如果你找不到N的任何除数在[2，根号(N)]范围内，这意味着什么?

这意味着当N <=√(N)时，N在[2,a]中没有任何除数。

因此，a = 1且b = n，因此根据定义，n是素数。

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如果您不满意，请继续阅读:

(a, b)可能有许多不同的组合。假设它们是:

(a1, b1)， (a2, b2)， (a3, b3)， .....， (ak, bk)。在不失一般性的前提下，假设ai < bi, 1<= i <=k。

现在，为了证明N不是质数它足以证明ai都不能被进一步分解。我们还知道ai <=根号N，因此你需要检查根号N，这将涵盖所有ai。这样你就能得出N是不是质数。

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