要检验一个数是不是质数,为什么我们要检验它是否只能被这个数的平方根整除?
当前回答
是的,正如上面所解释的,迭代到Math就足够了。对一个数的平方根取底,以检查其质数(因为SQRT涵盖了所有可能的除法情况;和数学。因为任何高于SQRT的整数已经超出了它的范围)。
下面是一个可运行的JavaScript代码片段,它代表了这种方法的简单实现-它的“运行时友好性”足以处理相当大的数字(我试着检查质数和非质数,最大可达10**12,即1万亿,将结果与在线质数数据库进行比较,即使在我的廉价手机上也没有遇到错误或延迟):
function isPrime(num) { if (num % 2 === 0 || num < 3 || !Number.isSafeInteger(num)) { return num === 2; } else { const sqrt = Math.floor(Math.sqrt(num)); for (let i = 3; i <= sqrt; i += 2) { if (num % i === 0) return false; } return true; } } <label for="inp">Enter a number and click "Check!":</label><br> <input type="number" id="inp"></input> <button onclick="alert(isPrime(+document.getElementById('inp').value) ? 'Prime' : 'Not prime')" type="button">Check!</button>
其他回答
为了测试一个数字n的质数,人们首先会期望一个循环,如下所示:
bool isPrime = true;
for(int i = 2; i < n; i++){
if(n%i == 0){
isPrime = false;
break;
}
}
上面的循环是这样做的:对于给定的1 < i < n,它检查n/i是否为整数(余数为0)。如果存在一个i,其中n/i是整数,那么我们可以确定n不是质数,此时循环终止。如果没有i, n/i是整数,那么n是素数。
和每一个算法一样,我们会问:我们能做得更好吗?
让我们看看上面的循环中发生了什么。
i的序列是:i = 2,3,4,…, n - 1
整数检查的顺序是:j = n/i,也就是n/2, n/3, n/4,…n (n - 1) /
如果对于某些i = a, n/a是一个整数,那么n/a = k(整数)
或者n = ak,显然是n > k > 1(如果k = 1,那么a = n,但我从来没有达到n;如果k = n,那么a = 1,但我从2开始
同样,n/k = a,如上所述,a是i的值,所以n > a > 1。
所以,a和k都是1和n之间的整数(排他)。由于i达到了该范围内的每一个整数,在某个迭代i = a时,在另一个迭代i = k时。如果n的质数检验对于min(a,k)失败,那么对于max(a,k)也会失败。所以我们只需要检查这两种情况中的一种,除非min(a,k) = max(a,k)(其中两次检查减少为一次),即a = k,此时a*a = n,这意味着a =根号(n)。
换句话说,如果n的质数检验对于某些i >=√(n)(即max(a,k))失败,那么对于某些i <= n(即min(a,k))也会失败。因此,如果我们运行i = 2到根号n的测试就足够了。
如果一个数n不是质数,它可以被分解成两个因子a和b:
n = a * b
现在a和b不可能都大于根号n,因为这样a * b就会大于根号n *根号n = n,所以在n的任何因式分解中,至少有一个因子必须小于根号n,如果我们找不到任何小于或等于根号的因子,n一定是质数。
假设我们有一个数字“a”,它不是质数[非质数/合数的意思是-一个可以被除1或它本身以外的数字整除的数字。例如,6可以被2或3整除,也可以被1或6整除。
6 = 1 × 6或6 = 2 × 3
如果a不是质数那么它可以被另外两个数除我们设这两个数是b和c。这意味着
a = b * c。
现在如果b或c,它们中的任何一个大于a的平方根那么b和c的乘积就会大于a。
因此,“b”或“c”总是<=“a”的平方根来证明方程“a=b*c”。
由于上述原因,当我们测试一个数字是否是质数时,我们只检查到该数字的平方根。
因为如果一个因子大于根号n,那么与它相乘等于n的另一个因子必然小于根号n。
是的,正如上面所解释的,迭代到Math就足够了。对一个数的平方根取底,以检查其质数(因为SQRT涵盖了所有可能的除法情况;和数学。因为任何高于SQRT的整数已经超出了它的范围)。
下面是一个可运行的JavaScript代码片段,它代表了这种方法的简单实现-它的“运行时友好性”足以处理相当大的数字(我试着检查质数和非质数,最大可达10**12,即1万亿,将结果与在线质数数据库进行比较,即使在我的廉价手机上也没有遇到错误或延迟):
function isPrime(num) { if (num % 2 === 0 || num < 3 || !Number.isSafeInteger(num)) { return num === 2; } else { const sqrt = Math.floor(Math.sqrt(num)); for (let i = 3; i <= sqrt; i += 2) { if (num % i === 0) return false; } return true; } } <label for="inp">Enter a number and click "Check!":</label><br> <input type="number" id="inp"></input> <button onclick="alert(isPrime(+document.getElementById('inp').value) ? 'Prime' : 'Not prime')" type="button">Check!</button>
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