要检验一个数是不是质数,为什么我们要检验它是否只能被这个数的平方根整除?


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是的,正如上面所解释的,迭代到Math就足够了。对一个数的平方根取底,以检查其质数(因为SQRT涵盖了所有可能的除法情况;和数学。因为任何高于SQRT的整数已经超出了它的范围)。

下面是一个可运行的JavaScript代码片段,它代表了这种方法的简单实现-它的“运行时友好性”足以处理相当大的数字(我试着检查质数和非质数,最大可达10**12,即1万亿,将结果与在线质数数据库进行比较,即使在我的廉价手机上也没有遇到错误或延迟):

function isPrime(num) { if (num % 2 === 0 || num < 3 || !Number.isSafeInteger(num)) { return num === 2; } else { const sqrt = Math.floor(Math.sqrt(num)); for (let i = 3; i <= sqrt; i += 2) { if (num % i === 0) return false; } return true; } } <label for="inp">Enter a number and click "Check!":</label><br> <input type="number" id="inp"></input> <button onclick="alert(isPrime(+document.getElementById('inp').value) ? 'Prime' : 'Not prime')" type="button">Check!</button>

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是的,正如上面所解释的,迭代到Math就足够了。对一个数的平方根取底,以检查其质数(因为SQRT涵盖了所有可能的除法情况;和数学。因为任何高于SQRT的整数已经超出了它的范围)。

下面是一个可运行的JavaScript代码片段,它代表了这种方法的简单实现-它的“运行时友好性”足以处理相当大的数字(我试着检查质数和非质数,最大可达10**12,即1万亿,将结果与在线质数数据库进行比较,即使在我的廉价手机上也没有遇到错误或延迟):

function isPrime(num) { if (num % 2 === 0 || num < 3 || !Number.isSafeInteger(num)) { return num === 2; } else { const sqrt = Math.floor(Math.sqrt(num)); for (let i = 3; i <= sqrt; i += 2) { if (num % i === 0) return false; } return true; } } <label for="inp">Enter a number and click "Check!":</label><br> <input type="number" id="inp"></input> <button onclick="alert(isPrime(+document.getElementById('inp').value) ? 'Prime' : 'Not prime')" type="button">Check!</button>

假设n不是一个质数(大于1),那么有数字a和b满足

n = ab      (1 < a <= b < n)

通过将a<=b的关系乘以a和b,我们得到:

a^2 <= ab
 ab <= b^2

因此:(注意n=ab)

a^2 <= n <= b^2

因此:(注意a和b是正的)

a <= sqrt(n) <= b

因此,如果一个数(大于1)不是质数,并且我们测试到该数的平方根的可除性,我们将找到其中一个因数。

为了测试一个数字n的质数,人们首先会期望一个循环,如下所示:

bool isPrime = true;
for(int i = 2; i < n; i++){
    if(n%i == 0){
        isPrime = false;
        break;
    }
}

上面的循环是这样做的:对于给定的1 < i < n,它检查n/i是否为整数(余数为0)。如果存在一个i,其中n/i是整数,那么我们可以确定n不是质数,此时循环终止。如果没有i, n/i是整数,那么n是素数。

和每一个算法一样,我们会问:我们能做得更好吗?

让我们看看上面的循环中发生了什么。

i的序列是:i = 2,3,4,…, n - 1

整数检查的顺序是:j = n/i,也就是n/2, n/3, n/4,…n (n - 1) /

如果对于某些i = a, n/a是一个整数,那么n/a = k(整数)

或者n = ak,显然是n > k > 1(如果k = 1,那么a = n,但我从来没有达到n;如果k = n,那么a = 1,但我从2开始

同样,n/k = a,如上所述,a是i的值,所以n > a > 1。

所以,a和k都是1和n之间的整数(排他)。由于i达到了该范围内的每一个整数,在某个迭代i = a时,在另一个迭代i = k时。如果n的质数检验对于min(a,k)失败,那么对于max(a,k)也会失败。所以我们只需要检查这两种情况中的一种,除非min(a,k) = max(a,k)(其中两次检查减少为一次),即a = k,此时a*a = n,这意味着a =根号(n)。

换句话说,如果n的质数检验对于某些i >=√(n)(即max(a,k))失败,那么对于某些i <= n(即min(a,k))也会失败。因此,如果我们运行i = 2到根号n的测试就足够了。

假设m =根号n,那么m × m = n。如果n不是质数,那么n可以写成n = a × b,所以m × m = a × b。注意,m是实数,而n、a和b是自然数。

现在有三种情况:

A > m⇒b < m ⇒A = m, b = m A < m⇒b > m

在这三种情况下,min(a, b)≤m。因此,如果我们搜索到m,我们一定会找到n的至少一个因子,这足以证明n不是质数。

假设我们有一个数字“a”,它不是质数[非质数/合数的意思是-一个可以被除1或它本身以外的数字整除的数字。例如,6可以被2或3整除,也可以被1或6整除。

6 = 1 × 6或6 = 2 × 3

如果a不是质数那么它可以被另外两个数除我们设这两个数是b和c。这意味着

a = b * c。

现在如果b或c,它们中的任何一个大于a的平方根那么b和c的乘积就会大于a。

因此,“b”或“c”总是<=“a”的平方根来证明方程“a=b*c”。

由于上述原因,当我们测试一个数字是否是质数时,我们只检查到该数字的平方根。