假设我们有一个数字“a”，它不是质数[非质数/合数的意思是-一个可以被除1或它本身以外的数字整除的数字。例如，6可以被2或3整除，也可以被1或6整除。

6 = 1 × 6或6 = 2 × 3

如果a不是质数那么它可以被另外两个数除我们设这两个数是b和c。这意味着

a = b * c。

现在如果b或c，它们中的任何一个大于a的平方根那么b和c的乘积就会大于a。

因此，“b”或“c”总是<=“a”的平方根来证明方程“a=b*c”。

由于上述原因，当我们测试一个数字是否是质数时，我们只检查到该数字的平方根。

其实就是基本的因式分解和平方根。

它可能看起来很抽象，但实际上它只是在于这样一个事实，即一个非质数的最大可能阶乘必须是它的平方根，因为:

sqrroot(n) * sqrroot(n) = n。

鉴于此，如果任何大于1且小于或大于√(n)的整数能被n整除，则n不可能是质数。

伪代码示例:

i = 2;

is_prime = true;

while loop (i <= sqrroot(n))
{
  if (n % i == 0)
  {
    is_prime = false;
    exit while;
  }
  ++i;
}

假设n不是一个质数(大于1)，那么有数字a和b满足

n = ab      (1 < a <= b < n)

通过将a<=b的关系乘以a和b，我们得到:

a^2 <= ab
 ab <= b^2

因此:(注意n=ab)

a^2 <= n <= b^2

因此:(注意a和b是正的)

a <= sqrt(n) <= b

因此，如果一个数(大于1)不是质数，并且我们测试到该数的平方根的可除性，我们将找到其中一个因数。

为了测试一个数字n的质数，人们首先会期望一个循环，如下所示:

bool isPrime = true;
for(int i = 2; i < n; i++){
    if(n%i == 0){
        isPrime = false;
        break;
    }
}

上面的循环是这样做的:对于给定的1 < i < n，它检查n/i是否为整数(余数为0)。如果存在一个i，其中n/i是整数，那么我们可以确定n不是质数，此时循环终止。如果没有i, n/i是整数，那么n是素数。

和每一个算法一样，我们会问:我们能做得更好吗?

让我们看看上面的循环中发生了什么。

i的序列是:i = 2,3,4，…, n - 1

整数检查的顺序是:j = n/i，也就是n/2, n/3, n/4，…n (n - 1) /

如果对于某些i = a, n/a是一个整数，那么n/a = k(整数)

或者n = ak，显然是n > k > 1(如果k = 1，那么a = n，但我从来没有达到n;如果k = n，那么a = 1，但我从2开始

同样，n/k = a，如上所述，a是i的值，所以n > a > 1。

所以，a和k都是1和n之间的整数(排他)。由于i达到了该范围内的每一个整数，在某个迭代i = a时，在另一个迭代i = k时。如果n的质数检验对于min(a,k)失败，那么对于max(a,k)也会失败。所以我们只需要检查这两种情况中的一种，除非min(a,k) = max(a,k)(其中两次检查减少为一次)，即a = k，此时a*a = n，这意味着a =根号(n)。

换句话说，如果n的质数检验对于某些i >=√(n)(即max(a,k))失败，那么对于某些i <= n(即min(a,k))也会失败。因此，如果我们运行i = 2到根号n的测试就足够了。

设n是非素数。因此，它至少有两个大于1的整数因子。设f是n个这样的因子中最小的。设f >√n，则n/f是一个≤√n的整数，因此小于f，因此f不可能是n的最小因子。反证法;N的最小因子必须≤根号N。

因为如果一个因子大于根号n，那么与它相乘等于n的另一个因子必然小于根号n。