假设n不是一个质数(大于1)，那么有数字a和b满足

n = ab      (1 < a <= b < n)

通过将a<=b的关系乘以a和b，我们得到:

a^2 <= ab
 ab <= b^2

因此:(注意n=ab)

a^2 <= n <= b^2

因此:(注意a和b是正的)

a <= sqrt(n) <= b

因此，如果一个数(大于1)不是质数，并且我们测试到该数的平方根的可除性，我们将找到其中一个因数。

为了测试一个数字n的质数，人们首先会期望一个循环，如下所示:

bool isPrime = true;
for(int i = 2; i < n; i++){
    if(n%i == 0){
        isPrime = false;
        break;
    }
}

上面的循环是这样做的:对于给定的1 < i < n，它检查n/i是否为整数(余数为0)。如果存在一个i，其中n/i是整数，那么我们可以确定n不是质数，此时循环终止。如果没有i, n/i是整数，那么n是素数。

和每一个算法一样，我们会问:我们能做得更好吗?

让我们看看上面的循环中发生了什么。

i的序列是:i = 2,3,4，…, n - 1

整数检查的顺序是:j = n/i，也就是n/2, n/3, n/4，…n (n - 1) /

如果对于某些i = a, n/a是一个整数，那么n/a = k(整数)

或者n = ak，显然是n > k > 1(如果k = 1，那么a = n，但我从来没有达到n;如果k = n，那么a = 1，但我从2开始

同样，n/k = a，如上所述，a是i的值，所以n > a > 1。

所以，a和k都是1和n之间的整数(排他)。由于i达到了该范围内的每一个整数，在某个迭代i = a时，在另一个迭代i = k时。如果n的质数检验对于min(a,k)失败，那么对于max(a,k)也会失败。所以我们只需要检查这两种情况中的一种，除非min(a,k) = max(a,k)(其中两次检查减少为一次)，即a = k，此时a*a = n，这意味着a =根号(n)。

换句话说，如果n的质数检验对于某些i >=√(n)(即max(a,k))失败，那么对于某些i <= n(即min(a,k))也会失败。因此，如果我们运行i = 2到根号n的测试就足够了。

如果一个数n不是质数，它可以被分解成两个因子a和b:

n = a * b

现在a和b不可能都大于根号n，因为这样a * b就会大于根号n *根号n = n，所以在n的任何因式分解中，至少有一个因子必须小于根号n，如果我们找不到任何小于或等于根号的因子，n一定是质数。

是的，正如上面所解释的，迭代到Math就足够了。对一个数的平方根取底，以检查其质数(因为SQRT涵盖了所有可能的除法情况;和数学。因为任何高于SQRT的整数已经超出了它的范围)。

下面是一个可运行的JavaScript代码片段，它代表了这种方法的简单实现-它的“运行时友好性”足以处理相当大的数字(我试着检查质数和非质数，最大可达10**12，即1万亿，将结果与在线质数数据库进行比较，即使在我的廉价手机上也没有遇到错误或延迟):

function isPrime(num) { if (num % 2 === 0 || num < 3 || !Number.isSafeInteger(num)) { return num === 2; } else { const sqrt = Math.floor(Math.sqrt(num)); for (let i = 3; i <= sqrt; i += 2) { if (num % i === 0) return false; } return true; } } <label for="inp">Enter a number and click "Check!":</label><br> <input type="number" id="inp"></input> <button onclick="alert(isPrime(+document.getElementById('inp').value) ? 'Prime' : 'Not prime')" type="button">Check!</button>

因为如果一个因子大于根号n，那么与它相乘等于n的另一个因子必然小于根号n。

假设m =根号n，那么m × m = n。如果n不是质数，那么n可以写成n = a × b，所以m × m = a × b。注意，m是实数，而n、a和b是自然数。

现在有三种情况:

A > m⇒b < m ⇒A = m, b = m A < m⇒b > m

在这三种情况下，min(a, b)≤m。因此，如果我们搜索到m，我们一定会找到n的至少一个因子，这足以证明n不是质数。