对于任意数n，求因数的一种方法是求根号p:

sqrt(n) = p

当然，如果我们用p乘以它自己，就会得到n:

p*p = n

可以改写为:

a*b = n

其中p = a = b，如果a增加，则b减少，以保持a*b = n，因此p为上限。

Update: I am re-reading this answer again today and it became clearer to me more. The value p does not necessarily mean an integer because if it is, then n would not be a prime. So, p could be a real number (ie, with fractions). And instead of going through the whole range of n, now we only need to go through the whole range of p. The other p is a mirror copy so in effect we halve the range. And then, now I am seeing that we can actually continue re-doing the square root and doing it to p to further half the range.

假设m =根号n，那么m × m = n。如果n不是质数，那么n可以写成n = a × b，所以m × m = a × b。注意，m是实数，而n、a和b是自然数。

现在有三种情况:

A > m⇒b < m ⇒A = m, b = m A < m⇒b > m

在这三种情况下，min(a, b)≤m。因此，如果我们搜索到m，我们一定会找到n的至少一个因子，这足以证明n不是质数。

因为如果一个因子大于根号n，那么与它相乘等于n的另一个因子必然小于根号n。

假设给定的整数N不是质数，

则N可分解为a和b两个因子，2 <= a, b < N使N = a*b。 显然，它们不能同时大于根号N。

让我们不失一般性地假设a更小。

现在，如果你找不到N的任何除数在[2，根号(N)]范围内，这意味着什么?

这意味着当N <=√(N)时，N在[2,a]中没有任何除数。

因此，a = 1且b = n，因此根据定义，n是素数。

...

如果您不满意，请继续阅读:

(a, b)可能有许多不同的组合。假设它们是:

(a1, b1)， (a2, b2)， (a3, b3)， .....， (ak, bk)。在不失一般性的前提下，假设ai < bi, 1<= i <=k。

现在，为了证明N不是质数它足以证明ai都不能被进一步分解。我们还知道ai <=根号N，因此你需要检查根号N，这将涵盖所有ai。这样你就能得出N是不是质数。

...

假设n不是一个质数(大于1)，那么有数字a和b满足

n = ab      (1 < a <= b < n)

通过将a<=b的关系乘以a和b，我们得到:

a^2 <= ab
 ab <= b^2

因此:(注意n=ab)

a^2 <= n <= b^2

因此:(注意a和b是正的)

a <= sqrt(n) <= b

因此，如果一个数(大于1)不是质数，并且我们测试到该数的平方根的可除性，我们将找到其中一个因数。

为了检验一个数N是不是质数。 我们只需要检查N是否能被<=SQROOT(N)的数整除。这是因为，如果我们把N分解成任意两个因子比如X和Y。N = XY。 X和Y都不能小于SQROOT(N)因为XY < N X和Y都不能大于SQROOT(N)因为X*Y >n

因此，一个因子必须小于或等于SQROOT(N)(而另一个因子大于或等于SQROOT(N))。 因此，要检查N是否为质数，我们只需要检查那些<= SQROOT(N)的数字。