假设m =根号n，那么m × m = n。如果n不是质数，那么n可以写成n = a × b，所以m × m = a × b。注意，m是实数，而n、a和b是自然数。

现在有三种情况:

A > m⇒b < m ⇒A = m, b = m A < m⇒b > m

在这三种情况下，min(a, b)≤m。因此，如果我们搜索到m，我们一定会找到n的至少一个因子，这足以证明n不是质数。

设n是非素数。因此，它至少有两个大于1的整数因子。设f是n个这样的因子中最小的。设f >√n，则n/f是一个≤√n的整数，因此小于f，因此f不可能是n的最小因子。反证法;N的最小因子必须≤根号N。

假设给定的整数N不是质数，

则N可分解为a和b两个因子，2 <= a, b < N使N = a*b。 显然，它们不能同时大于根号N。

让我们不失一般性地假设a更小。

现在，如果你找不到N的任何除数在[2，根号(N)]范围内，这意味着什么?

这意味着当N <=√(N)时，N在[2,a]中没有任何除数。

因此，a = 1且b = n，因此根据定义，n是素数。

...

如果您不满意，请继续阅读:

(a, b)可能有许多不同的组合。假设它们是:

(a1, b1)， (a2, b2)， (a3, b3)， .....， (ak, bk)。在不失一般性的前提下，假设ai < bi, 1<= i <=k。

现在，为了证明N不是质数它足以证明ai都不能被进一步分解。我们还知道ai <=根号N，因此你需要检查根号N，这将涵盖所有ai。这样你就能得出N是不是质数。

...

如果一个数n不是质数，它可以被分解成两个因子a和b:

n = a * b

现在a和b不可能都大于根号n，因为这样a * b就会大于根号n *根号n = n，所以在n的任何因式分解中，至少有一个因子必须小于根号n，如果我们找不到任何小于或等于根号的因子，n一定是质数。

其实就是基本的因式分解和平方根。

它可能看起来很抽象，但实际上它只是在于这样一个事实，即一个非质数的最大可能阶乘必须是它的平方根，因为:

sqrroot(n) * sqrroot(n) = n。

鉴于此，如果任何大于1且小于或大于√(n)的整数能被n整除，则n不可能是质数。

伪代码示例:

i = 2;

is_prime = true;

while loop (i <= sqrroot(n))
{
  if (n % i == 0)
  {
    is_prime = false;
    exit while;
  }
  ++i;
}

对于任意数n，求因数的一种方法是求根号p:

sqrt(n) = p

当然，如果我们用p乘以它自己，就会得到n:

p*p = n

可以改写为:

a*b = n

其中p = a = b，如果a增加，则b减少，以保持a*b = n，因此p为上限。

Update: I am re-reading this answer again today and it became clearer to me more. The value p does not necessarily mean an integer because if it is, then n would not be a prime. So, p could be a real number (ie, with fractions). And instead of going through the whole range of n, now we only need to go through the whole range of p. The other p is a mirror copy so in effect we halve the range. And then, now I am seeing that we can actually continue re-doing the square root and doing it to p to further half the range.