递归有两种基本类型：头部递归和尾部递归。

在头部递归中，函数进行递归调用，然后执行更多计算，可能使用例如递归调用。在尾部递归函数中，所有计算首先发生递归调用是最后发生的事情。

摘自这篇超棒的帖子。请考虑阅读它。

尾部递归是函数调用的递归函数自身位于函数的末尾（“尾部”），其中没有计算在递归调用返回后完成。许多编译器优化以将递归调用更改为尾部递归调用或迭代调用。

考虑计算一个数的阶乘的问题。

一种简单的方法是：

  factorial(n):

    if n==0 then 1

    else n*factorial(n-1)

假设你调用阶乘（4）。递归树为：

       factorial(4)
       /        \
      4      factorial(3)
     /             \
    3          factorial(2)
   /                  \
  2                factorial(1)
 /                       \
1                       factorial(0)
                            \
                             1    

上述情况下的最大递归深度为O（n）。

但是，请考虑以下示例：

factAux(m,n):
if n==0  then m;
else     factAux(m*n,n-1);

factTail(n):
   return factAux(1,n);

factTail（4）的递归树为：

factTail(4)
   |
factAux(1,4)
   |
factAux(4,3)
   |
factAux(12,2)
   |
factAux(24,1)
   |
factAux(24,0)
   |
  24

这里，最大递归深度是O（n），但没有一个调用向堆栈添加任何额外变量。因此编译器可以取消堆栈。

这本摘自《Lua编程》一书的摘录展示了如何进行正确的尾部递归（在Lua中，但也应适用于Lisp）以及为什么它更好。

尾部调用[尾部递归]是一种goto-dressed作为呼叫。当函数调用另一个作为其最后一个行动，所以它没有其他事情可做。例如在以下代码中，对g的调用是尾调用：函数f（x）返回g（x）终止在f调用g之后，它没有其他内容在这种情况下，程序不需要返回调用函数时调用的函数末端。因此在尾呼之后，程序不需要保留任何有关调用函数的信息在堆栈中。。。因为正确的尾呼使用no堆栈空间一个程序可以生成。例如，我们可以使用任意数字作为自变量；它永远不会溢出堆栈：函数foo（n）如果n>0，则返回foo（n-1）end终止…正如我前面所说的，尾呼是有点后顾之忧。因此，一个非常有用的正确的尾部调用在Lua用于编程状态机。此类应用程序可以代表功能状态；更改状态是去（或打电话）一个特定的作用例如，让我们考虑一个简单的迷宫游戏。迷宫有几个房间，每个房间最多四个门：北、南、东和西在每个步骤中，用户输入移动方向。如果有门在该方向上，用户将相应的房间；否则程序打印警告。目标是从最初的房间到最后的房间房间该游戏是典型的状态机，其中当前房间是状态。我们可以用一个每个房间的功能。我们用尾巴从一个房间移动到另一个有四个房间的小迷宫可能看起来像这样：功能室1（）本地移动=io.read（）如果移动==“南”，则返回房间3（）elseif move==“east”然后返回room2（）否则打印（“无效移动”）返回房间1（）--呆在同一个房间终止终止功能室2（）本地移动=io.read（）如果move==“south”，则返回room4（）elseif move==“west”然后返回房间1（）否则打印（“无效移动”）返回室2（）终止终止功能室3（）本地移动=io.read（）如果move==“north”，则返回room1（）elseif move==“east”然后返回room4（）否则打印（“无效移动”）返回室3（）终止终止功能室4（）打印（“恭喜！”）终止

因此，当您进行如下递归调用时：

function x(n)
  if n==0 then return 0
  n= n-2
  return x(n) + 1
end

这不是尾部递归的，因为在进行递归调用之后，您仍然需要在该函数中做一些事情（添加1）。如果输入的数字很高，可能会导致堆栈溢出。

我不是Lisp程序员，但我认为这会有所帮助。

基本上，这是一种编程风格，递归调用是最后一件事。

重要的一点是尾部递归本质上等同于循环。这不仅仅是一个编译器优化的问题，而是一个关于表现力的基本事实。这是双向的：你可以采取任何形式的循环

while(E) { S }; return Q

其中E和Q是表达式，S是语句序列，并将其转换为尾部递归函数

f() = if E then { S; return f() } else { return Q }

当然，必须定义E、S和Q来计算一些变量的有趣值。例如，循环函数

sum(n) {
  int i = 1, k = 0;
  while( i <= n ) {
    k += i;
    ++i;
  }
  return k;
}

等效于尾部递归函数

sum_aux(n,i,k) {
  if( i <= n ) {
    return sum_aux(n,i+1,k+i);
  } else {
    return k;
  }
}

sum(n) {
  return sum_aux(n,1,0);
}

（用参数较少的函数“包装”尾部递归函数是一种常见的函数习惯用法。）

考虑一个将前N个自然数相加的简单函数。（例如，和（5）＝0+1+2+3+4+5＝15）。

下面是一个使用递归的简单JavaScript实现：

function recsum(x) {
    if (x === 0) {
        return 0;
    } else {
        return x + recsum(x - 1);
    }
}

如果调用recsum（5），JavaScript解释器将评估以下内容：

recsum(5)
5 + recsum(4)
5 + (4 + recsum(3))
5 + (4 + (3 + recsum(2)))
5 + (4 + (3 + (2 + recsum(1))))
5 + (4 + (3 + (2 + (1 + recsum(0)))))
5 + (4 + (3 + (2 + (1 + 0))))
5 + (4 + (3 + (2 + 1)))
5 + (4 + (3 + 3))
5 + (4 + 6)
5 + 10
15

请注意，在JavaScript解释器开始实际计算和之前，每个递归调用都必须完成。

下面是同一函数的尾部递归版本：

function tailrecsum(x, running_total = 0) {
    if (x === 0) {
        return running_total;
    } else {
        return tailrecsum(x - 1, running_total + x);
    }
}

以下是调用tailrecsum（5）时发生的事件序列（由于默认的第二个参数，它实际上是tailrecsum（5，0））。

tailrecsum(5, 0)
tailrecsum(4, 5)
tailrecsum(3, 9)
tailrecsum(2, 12)
tailrecsum(1, 14)
tailrecsum(0, 15)
15

在尾部递归情况下，每次对递归调用求值时，running_total都会更新。

注：原始答案使用了Python中的示例。由于Python解释器不支持尾部调用优化，这些代码已更改为JavaScript。然而，虽然尾部调用优化是ECMAScript 2015规范的一部分，但大多数JavaScript解释器不支持它。