我在上次面试中遇到的一个问题是:

设计函数f,使得:f(f(n))==-n其中n是32位有符号整数;你不能用复数算术。如果你不能为整个数字范围设计这样的函数,那么就尽可能为最大范围设计它。

有什么想法吗?


当前回答

这对所有负数都是正确的。

    f(n) = abs(n)

因为两个互补整数的负数比正数多一个,所以f(n)=abs(n)比f(n(n)=n>0-n:n溶液,与f(n)=-abs(n)相同。一个接一个…:D

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不,这对一个以上的案例无效,因为我刚从李布的评论中认识到。。。abs(Int.Min)将溢出。。。

我也想过使用mod 2信息,但得出的结论是,它不起作用。。。到早期。如果操作正确,它将适用于除Int.Min之外的所有数字,因为这将溢出。

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我玩了一段时间,寻找一个很好的位操作技巧,但我找不到一个很不错的单行线,而mod 2解决方案适合一个。

    f(n) = 2n(abs(n) % 2) - n + sgn(n)

在C#中,这变成了以下内容:

public static Int32 f(Int32 n)
{
    return 2 * n * (Math.Abs(n) % 2) - n + Math.Sign(n);
}

要使其适用于所有值,必须将Math.Abs()替换为(n>0)+n:-n,并将计算包含在未选中的块中。然后,您甚至可以像未检查的否定一样将Int.Min映射到自身。

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受另一个答案的启发,我将解释函数是如何工作的,以及如何构造这样的函数。

让我们从头开始。函数f被重复应用于给定值n,产生一系列值。

    n => f(n) => f(f(n)) => f(f(f(n))) => f(f(f(f(n)))) => ...

这个问题要求f(f(n))=-n,即f的两个连续应用否定这个论点。另外两次应用f-总共四次-再次否定论点,再次产生n。

    n => f(n) => -n => f(f(f(n))) => n => f(n) => ...

现在有一个明显的长度为4的循环。代入x=f(n),并注意所获得的方程式f(f(f)n))=f(f f(x))=-x成立,得出以下结果。

    n => x => -n => -x => n => ...

所以我们得到一个长度为4的循环,有两个数字,两个数字被取反。如果将循环想象为矩形,则取反的值位于相反的角落。

构建这样一个循环的许多解决方案之一是从n开始的以下方法。

 n                 => negate and subtract one
-n - 1 = -(n + 1)  => add one
-n                 => negate and add one
 n + 1             => subtract one
 n

一个具体的例子是这样一个循环:+1=>-2=>-1=>+2=>+1。我们快完成了。注意到所构造的循环包含一个奇数正数,它的偶数后继数,并且两个数都是负数,我们可以很容易地将整数划分为许多这样的循环(2^32是四的倍数),并找到了满足条件的函数。

但我们有一个零的问题。循环必须包含0=>x=>0,因为零对自身求反。因为循环状态已经是0=>x,所以它遵循0=>x=>0=>x。这只是一个长度为2的循环,x在两次应用后变为自身,而不是变为-x。幸运的是,有一个案例解决了这个问题。如果X等于零,我们得到一个长度为1的循环,它只包含零,我们解决了这个问题,得出结论,零是f的不动点。

完成?几乎我们有2^32个数字,零是留下2^32-1个数字的固定点,我们必须将这个数字分成四个数字的循环。糟糕的是,2^32-1不是四的倍数-在任何长度为四的循环中都会保留三个数字。

我将使用范围从-4到+3的较小的3位带符号iteger集来解释解决方案的其余部分。我们用零结束了。我们有一个完整的循环+1=>-2=>-1=>+2=>+1。现在让我们构建从+3开始的循环。

    +3 => -4 => -3 => +4 => +3

出现的问题是+4不能表示为3位整数。我们可以通过将-3减为+3来获得+4,这仍然是一个有效的3位整数,但然后将1加上+3(二进制011)得到100个二进制。它被解释为无符号整数,它是+4,但我们必须将它解释为有符号整数-4。因此实际上,本例中的-4或一般情况下的Int.MinValue是整数算术否定的第二个不动点-0和Int.MinValue映射到它们自己。所以循环实际上如下。

    +3 =>    -4 => -3 => -4 => -3

这是一个长度为2的循环,另外+3通过-4进入循环。因此,-4在两个函数应用程序之后正确映射到自身,+3在两个功能应用程序之后被正确映射到-3,但-3在两个应用程序之后错误映射到自身。

所以我们构造了一个函数,它适用于除1以外的所有整数。我们能做得更好吗?不,我们不能。为什么?我们必须构造长度为4的循环,并且能够覆盖多达四个值的整个整数范围。剩下的值是必须映射到自身的两个固定点0和Int.MinValue,以及必须由两个函数应用程序相互映射的两个任意整数x和-x。

为了将x映射到-x,反之亦然,它们必须形成一个四循环,并且必须位于该循环的相对角。因此,0和Int.MinValue也必须位于相反的角落。这将正确映射x和-x,但在两个函数应用程序之后交换两个固定点0和Int.MinValue,并留下两个失败的输入。因此,不可能构造一个适用于所有值的函数,但我们有一个适用所有值(除了一个值)的函数,这是我们所能达到的最佳效果。

其他回答

在awk中,由于几乎没有任何信息被传递,因此必须求助于允许将状态信息作为函数返回的一部分传递的方法,而不会危及传递内容的可用性:

jot - -5 5 | mawk 'function _(__,___) { 

     return (__~(___=" ")) \
      \
      ? substr("",sub("^[ ]?[+- ]*",\
        substr(" -",__~__,index("_"___,___)-\
              (__~"[-]")),__))\
            (__~"[-]"?"":___)__\
      : (+__<-__?___:(___)___)__ 

  } BEGIN { CONVFMT=OFMT="%.17g" 
  } { 
      print "orig",           +(__=$(__<__))<-__?__:" "__,
            "f(n)....",        _(__),_(_(__)),_(_(_(__))),
                         _(_(_(_(__)))), _(_(_(_(_(__))))) 

  }' |gcat -n | lgp3 5 

 1  orig -5 f(n)....  -5   5  -5   5  -5
 2  orig -4 f(n)....  -4   4  -4   4  -4
 3  orig -3 f(n)....  -3   3  -3   3  -3
 4  orig -2 f(n)....  -2   2  -2   2  -2
 5  orig -1 f(n)....  -1   1  -1   1  -1

 6  orig  0 f(n)....   0  -0   0  -0   0
 7  orig  1 f(n)....   1  -1   1  -1   1
 8  orig  2 f(n)....   2  -2   2  -2   2
 9  orig  3 f(n)....   3  -3   3  -3   3
10  orig  4 f(n)....   4  -4   4  -4   4

11  orig  5 f(n)....   5  -5   5  -5   5

因此,这样做的限制是,只有整数或浮点值已经是字符串格式,可以在没有风险的情况下使用,因为额外的ASCII空间\040作为状态信息

这种方法的优点是

它愿意为您提供“负零”,对于绝对值小于2^53的整数,简单地添加加号,即+f(f(_))函数调用本身将具有隐式代表您完成类型铸造,结果值将再次为数字对于大整数,只需减去()任何前导空格轻松处理大整数,而不会丢失精度从类型转换为双精度浮点

`

    1   orig -99999999999999999999999999999999 
        f(n).... 
             -99999999999999999999999999999999   
              99999999999999999999999999999999
             -99999999999999999999999999999999   
              99999999999999999999999999999999  
             -99999999999999999999999999999999

 2  orig      -1239999999999999999999999999999 
    f(n)....  -1239999999999999999999999999999                   
               1239999999999999999999999999999
              -1239999999999999999999999999999
               1239999999999999999999999999999
              -1239999999999999999999999999999`

创建许多解的一种方法是注意,如果我们将整数划分为两个集合S和R

那么我们可以如下创建f:

如果x在R中,则f(x)=g(x)

如果x在S中,则f(x)=-invg(x)

其中invg(g(x))=x,所以invg是g的逆函数。

上面提到的第一个解决方案是分区R=偶数,R=奇数,g(x)=x+1。

我们可以取任意两个无限集合T,P s.T T+U=整数集合,取s=T+(-T),R=U+(-U)。

然后-S=S和-R=R通过它们的定义,我们可以将g取为从S到R的任何1-1对应关系,这必须存在,因为这两个集合都是无限的和可数的。

因此,这将为我们提供许多解决方案,但并非所有解决方案都可以编程,因为它们不会被有限地定义。

例如:

R=可被3整除的数字,S=不可被3除的数字。

然后我们取g(6r)=3r+1,g(6r+3)=3r+2。

在C中,

int 
f(int n) {
     static int r = 0;
     if (r == 1) {r--; return -1 * n; };
     r++;
     return n;
}

知道这是为了什么语言会有帮助。我错过了什么吗?许多“解决方案”似乎过于复杂,坦率地说,并非如此工作(当我读到问题时)。

f(n) { return IsWholeNumber(n)? 1/n : -1/n }

在Python中

f=lambda n:n[0]if type(n)is list else[-n]