我知道大o符号,但我不知道如何计算它的许多函数。特别是,我一直在试图弄清楚朴素版斐波那契数列的计算复杂度:

int Fibonacci(int n)
{
    if (n <= 1)
        return n;
    else
        return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

斐波那契数列的计算复杂度是多少?它是如何计算的?


当前回答

它的下端以2^(n/2)为界,上端以2^n为界(如其他注释中所述)。这个递归实现的一个有趣的事实是它本身有一个紧密的Fib(n)渐近界。这些事实可以总结为:

T(n) = Ω(2^(n/2))  (lower bound)
T(n) = O(2^n)   (upper bound)
T(n) = Θ(Fib(n)) (tight bound)

如果你愿意,可以用它的封闭形式进一步简化紧边界。

其他回答

只要问问自己,F(n)需要执行多少条语句才能完成。

对于F(1),答案是1(条件的第一部分)。

对于F(n)答案是F(n-1) + F(n-2)

那么什么函数满足这些规则呢?试试an (a > 1):

==地理==根据美国人口普查,该镇总面积为,其中土地和(1.1%)水。

再除以a(n-2)

A2 == a + 1

解出a,你得到(1+根号(5))/2 = 1.6180339887,也就是黄金比例。

所以需要指数级的时间。

将计算Fib(n)的时间函数建模为计算Fib(n-1)的时间加上计算Fib(n-2)的时间加上将它们相加的时间(O(1))的总和。这是假设重复计算相同的Fib(n)需要相同的时间-即不使用记忆。

T(n<=1) = O(1)

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)

你解决这个递归关系(例如使用生成函数),你就会得到答案。

或者,你可以画出递归树,它的深度是n,直观地看出这个函数是渐近的O(2n)。然后你可以用归纳法证明你的猜想。

基数:n = 1是显而易见的

因此,假设T(n-1) = O(2n-1)

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)等于

T(n) = O(2n-1) + O(2n-2) + O(1) = O(2n)

然而,正如评论中提到的,这不是严格的界限。关于这个函数的一个有趣的事实是T(n)与Fib(n)的值渐近相同,因为两者都被定义为

f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

递归树的叶结点总是返回1。Fib(n)的值是递归树中所有叶子返回值的和,等于叶子的计数。由于每个叶需要O(1)来计算,T(n)等于Fib(n) x O(1)。因此,这个函数的紧界是斐波那契数列本身(~θ(1.6n))。你可以使用我上面提到的生成函数来找到这个紧边界。

我同意pgaur和rickerbh的观点,递归-fibonacci的复杂度是O(2^n)。

我通过一个相当简单但我相信仍然有效的推理得出了同样的结论。

首先,这完全是关于计算第n个斐波那契数时调用多少次递归斐波那契函数(F()从现在开始)。如果它在0到n的数列中被调用一次,那么我们有O(n),如果它对每个数字被调用n次,那么我们得到O(n*n)或O(n²),以此类推。

因此,当对一个数字n调用F()时,对一个给定的0到n-1之间的数字调用F()的次数随着趋近于0而增加。

作为第一印象,在我看来,如果我们把它放在视觉上,每次绘制一个单位F()被调用为给定的数字,我们会得到一种金字塔形状(也就是说,如果我们将单位水平居中)。就像这样:

n              *
n-1            **
n-2           ****  
...
2           ***********
1       ******************
0    ***************************

现在的问题是,随着n的增长,金字塔的底部扩大的有多快?

让我们举一个真实的例子,比如F(6)

F(6)                 *  <-- only once
F(5)                 *  <-- only once too
F(4)                 ** 
F(3)                ****
F(2)              ********
F(1)          ****************           <-- 16
F(0)  ********************************    <-- 32

我们看到F(0)被调用了32次,也就是2^5,在这个例子中是2^(n-1)

现在,我们想知道F(x)被调用了多少次,我们可以看到F(0)被调用的次数只是其中的一部分。

如果我们在心里把F(6)到F(2)线的所有*移到F(1)线中,我们看到F(1)和F(0)线现在长度相等。这意味着,当n=6 = 2x32=64=2^6时,total乘以F()被调用。

现在,说到复杂性:

O( F(6) ) = O(2^6)
O( F(n) ) = O(2^n)

它的下端以2^(n/2)为界,上端以2^n为界(如其他注释中所述)。这个递归实现的一个有趣的事实是它本身有一个紧密的Fib(n)渐近界。这些事实可以总结为:

T(n) = Ω(2^(n/2))  (lower bound)
T(n) = O(2^n)   (upper bound)
T(n) = Θ(Fib(n)) (tight bound)

如果你愿意,可以用它的封闭形式进一步简化紧边界。

通过绘制递归树可以更好地估计递归算法的时间复杂度,在这种情况下,绘制递归树的递归关系为T(n-1) =T(n- 2)+O(1) 注意,每一步花费O(1)意味着常数时间,因为它只做了一次比较来检查if块中的n值。递归树是这样的

          n
   (n-1)      (n-2)
(n-2)(n-3) (n-3)(n-4) ...so on

这里假设上面树的每一层都用i表示 因此,

i
0                        n
1            (n-1)                 (n-2)
2        (n-2)    (n-3)      (n-3)     (n-4)
3   (n-3)(n-4) (n-4)(n-5) (n-4)(n-5) (n-5)(n-6)

假设在特定的i值处,树就结束了,也就是当n-i=1时,因此i=n-1,也就是说树的高度是n-1。 现在让我们看看树中n层中的每一层做了多少工作。注意,按照递归关系,每一步花费O(1)时间。

2^0=1                        n
2^1=2            (n-1)                 (n-2)
2^2=4        (n-2)    (n-3)      (n-3)     (n-4)
2^3=8   (n-3)(n-4) (n-4)(n-5) (n-4)(n-5) (n-5)(n-6)    ..so on
2^i for ith level

因为i=n-1是树的高度,所以每一层所做的功为

i work
1 2^1
2 2^2
3 2^3..so on

因此,所做的总功将是每一层所做的功的总和,因此它将是2^0+2^1+2^2+2^3…+2^(n-1),因为i=n-1。 通过几何级数,这个和是2^n,因此总时间复杂度是O(2^n)