只要问问自己，F(n)需要执行多少条语句才能完成。

对于F(1)，答案是1(条件的第一部分)。

对于F(n)答案是F(n-1) + F(n-2)

那么什么函数满足这些规则呢?试试an (a > 1):

==地理==根据美国人口普查，该镇总面积为，其中土地和(1.1%)水。

再除以a(n-2)

A2 == a + 1

解出a，你得到(1+根号(5))/2 = 1.6180339887，也就是黄金比例。

所以需要指数级的时间。

只要问问自己，F(n)需要执行多少条语句才能完成。

对于F(1)，答案是1(条件的第一部分)。

对于F(n)答案是F(n-1) + F(n-2)

那么什么函数满足这些规则呢?试试an (a > 1):

==地理==根据美国人口普查，该镇总面积为，其中土地和(1.1%)水。

再除以a(n-2)

A2 == a + 1

解出a，你得到(1+根号(5))/2 = 1.6180339887，也就是黄金比例。

所以需要指数级的时间。

证明答案很好，但我总是不得不手工做一些迭代来真正说服自己。所以我在白板上画了一个小的调用树，并开始计算节点。我将计数分为总节点、叶节点和内部节点。以下是我得到的答案:

IN | OUT | TOT | LEAF | INT
 1 |   1 |   1 |   1  |   0
 2 |   1 |   1 |   1  |   0
 3 |   2 |   3 |   2  |   1
 4 |   3 |   5 |   3  |   2
 5 |   5 |   9 |   5  |   4
 6 |   8 |  15 |   8  |   7
 7 |  13 |  25 |  13  |  12
 8 |  21 |  41 |  21  |  20
 9 |  34 |  67 |  34  |  33
10 |  55 | 109 |  55  |  54

显而易见的是，叶节点的数量是fib(n)经过几次迭代才发现，内部节点的数量是fib(n) - 1。因此节点总数为2 * fib(n) - 1。

由于在对计算复杂度进行分类时去掉了系数，最终答案是θ(fib(n))。

由于计算的重复，朴素递归版本的斐波那契是指数型的:

在根上，你正在计算:

F(n)取决于F(n-1)和F(n-2)

F(n-1)又取决于F(n-2)和F(n-3)

F(n-2)又取决于F(n-3)和F(n-4)

然后你在每一个二级递归调用中都浪费了大量的数据，时间函数看起来像这样:

T（n） = T（n-1） + T（n-2） + C，C 常数

T（n-1） = T（n-2） + T（n-3） > T（n-2） 则

T（n） > 2*T（n-2）

...

T(n) > 2^(n/2) * T(1) = O(2^(n/2))

这只是一个下界，对于你的分析来说应该足够了，但实时函数是一个常数的因子，根据相同的斐波那契公式，封闭形式是已知的黄金比例的指数。

此外，你可以使用动态规划找到优化版的斐波那契函数，如下所示:

static int fib(int n)
{
    /* memory */
    int f[] = new int[n+1];
    int i;

    /* Init */
    f[0] = 0;
    f[1] = 1;

    /* Fill */
    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        f[i] = f[i-1] + f[i-2];
    }

    return f[n];
}

这是优化的，只做n步，但也是指数级的。

Cost functions are defined from Input size to the number of steps to solve the problem. When you see the dynamic version of Fibonacci (n steps to compute the table) or the easiest algorithm to know if a number is prime (sqrt(n) to analyze the valid divisors of the number). you may think that these algorithms are O(n) or O(sqrt(n)) but this is simply not true for the following reason: The input to your algorithm is a number: n, using the binary notation the input size for an integer n is log2(n) then doing a variable change of

m = log2(n) // your real input size

让我们找出作为输入大小的函数的步数

m = log2(n)
2^m = 2^log2(n) = n

那么你的算法的代价作为输入大小的函数是:

T(m) = n steps = 2^m steps

这就是为什么成本是指数级的。

我同意pgaur和rickerbh的观点，递归-fibonacci的复杂度是O(2^n)。

我通过一个相当简单但我相信仍然有效的推理得出了同样的结论。

首先，这完全是关于计算第n个斐波那契数时调用多少次递归斐波那契函数(F()从现在开始)。如果它在0到n的数列中被调用一次，那么我们有O(n)，如果它对每个数字被调用n次，那么我们得到O(n*n)或O(n²)，以此类推。

因此，当对一个数字n调用F()时，对一个给定的0到n-1之间的数字调用F()的次数随着趋近于0而增加。

作为第一印象，在我看来，如果我们把它放在视觉上，每次绘制一个单位F()被调用为给定的数字，我们会得到一种金字塔形状(也就是说，如果我们将单位水平居中)。就像这样:

n              *
n-1            **
n-2           ****  
...
2           ***********
1       ******************
0    ***************************

现在的问题是，随着n的增长，金字塔的底部扩大的有多快?

让我们举一个真实的例子，比如F(6)

F(6)                 *  <-- only once
F(5)                 *  <-- only once too
F(4)                 ** 
F(3)                ****
F(2)              ********
F(1)          ****************           <-- 16
F(0)  ********************************    <-- 32

我们看到F(0)被调用了32次，也就是2^5，在这个例子中是2^(n-1)

现在，我们想知道F(x)被调用了多少次，我们可以看到F(0)被调用的次数只是其中的一部分。

如果我们在心里把F(6)到F(2)线的所有*移到F(1)线中，我们看到F(1)和F(0)线现在长度相等。这意味着，当n=6 = 2x32=64=2^6时，total乘以F()被调用。

现在，说到复杂性:

O( F(6) ) = O(2^6)
O( F(n) ) = O(2^n)

它的下端以2^(n/2)为界，上端以2^n为界(如其他注释中所述)。这个递归实现的一个有趣的事实是它本身有一个紧密的Fib(n)渐近界。这些事实可以总结为:

T(n) = Ω(2^(n/2))  (lower bound)
T(n) = O(2^n)   (upper bound)
T(n) = Θ(Fib(n)) (tight bound)

如果你愿意，可以用它的封闭形式进一步简化紧边界。