将计算Fib(n)的时间函数建模为计算Fib(n-1)的时间加上计算Fib(n-2)的时间加上将它们相加的时间(O(1))的总和。这是假设重复计算相同的Fib(n)需要相同的时间-即不使用记忆。

T(n<=1) = O(1)

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)

你解决这个递归关系(例如使用生成函数)，你就会得到答案。

或者，你可以画出递归树，它的深度是n，直观地看出这个函数是渐近的O(2n)。然后你可以用归纳法证明你的猜想。

基数:n = 1是显而易见的

因此，假设T(n-1) = O(2n-1)

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)等于

T(n) = O(2n-1) + O(2n-2) + O(1) = O(2n)

然而，正如评论中提到的，这不是严格的界限。关于这个函数的一个有趣的事实是T(n)与Fib(n)的值渐近相同，因为两者都被定义为

f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

递归树的叶结点总是返回1。Fib(n)的值是递归树中所有叶子返回值的和，等于叶子的计数。由于每个叶需要O(1)来计算，T(n)等于Fib(n) x O(1)。因此，这个函数的紧界是斐波那契数列本身(~θ(1.6n))。你可以使用我上面提到的生成函数来找到这个紧边界。

好吧，根据我的说法，它是O(2^n)，因为在这个函数中，只有递归花费了相当多的时间(分治)。我们看到，上面的函数将在树中继续存在，直到叶子趋近于F(n-(n-1))级，即F(1)。因此，当我们在这里记下树的每个深度处遇到的时间复杂度时，求和级数为:

1+2+4+.......(n-1)
= 1((2^n)-1)/(2-1)
=2^n -1

它是2^n的O(2^n)阶。

证明答案很好，但我总是不得不手工做一些迭代来真正说服自己。所以我在白板上画了一个小的调用树，并开始计算节点。我将计数分为总节点、叶节点和内部节点。以下是我得到的答案:

IN | OUT | TOT | LEAF | INT
 1 |   1 |   1 |   1  |   0
 2 |   1 |   1 |   1  |   0
 3 |   2 |   3 |   2  |   1
 4 |   3 |   5 |   3  |   2
 5 |   5 |   9 |   5  |   4
 6 |   8 |  15 |   8  |   7
 7 |  13 |  25 |  13  |  12
 8 |  21 |  41 |  21  |  20
 9 |  34 |  67 |  34  |  33
10 |  55 | 109 |  55  |  54

显而易见的是，叶节点的数量是fib(n)经过几次迭代才发现，内部节点的数量是fib(n) - 1。因此节点总数为2 * fib(n) - 1。

由于在对计算复杂度进行分类时去掉了系数，最终答案是θ(fib(n))。

将计算Fib(n)的时间函数建模为计算Fib(n-1)的时间加上计算Fib(n-2)的时间加上将它们相加的时间(O(1))的总和。这是假设重复计算相同的Fib(n)需要相同的时间-即不使用记忆。

T(n<=1) = O(1)

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)

你解决这个递归关系(例如使用生成函数)，你就会得到答案。

或者，你可以画出递归树，它的深度是n，直观地看出这个函数是渐近的O(2n)。然后你可以用归纳法证明你的猜想。

基数:n = 1是显而易见的

因此，假设T(n-1) = O(2n-1)

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)等于

T(n) = O(2n-1) + O(2n-2) + O(1) = O(2n)

然而，正如评论中提到的，这不是严格的界限。关于这个函数的一个有趣的事实是T(n)与Fib(n)的值渐近相同，因为两者都被定义为

f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

递归树的叶结点总是返回1。Fib(n)的值是递归树中所有叶子返回值的和，等于叶子的计数。由于每个叶需要O(1)来计算，T(n)等于Fib(n) x O(1)。因此，这个函数的紧界是斐波那契数列本身(~θ(1.6n))。你可以使用我上面提到的生成函数来找到这个紧边界。

只要问问自己，F(n)需要执行多少条语句才能完成。

对于F(1)，答案是1(条件的第一部分)。

对于F(n)答案是F(n-1) + F(n-2)

那么什么函数满足这些规则呢?试试an (a > 1):

==地理==根据美国人口普查，该镇总面积为，其中土地和(1.1%)水。

再除以a(n-2)

A2 == a + 1

解出a，你得到(1+根号(5))/2 = 1.6180339887，也就是黄金比例。

所以需要指数级的时间。

在麻省理工学院有一个关于这个具体问题的很好的讨论。在第5页，他们指出，如果你假设一个加法需要一个计算单位，那么计算Fib(N)所需的时间与Fib(N)的结果密切相关。

因此，你可以直接跳到斐波那契数列的非常接近的近似:

Fib(N) = (1/sqrt(5)) * 1.618^(N+1) (approximately)

因此，假设朴素算法的最坏情况是

O((1/sqrt(5)) * 1.618^(N+1)) = O(1.618^(N+1))

PS:如果你想了解更多信息，维基百科上有关于第n个斐波那契数的封闭形式表达的讨论。