我知道大o符号，但我不知道如何计算它的许多函数。特别是，我一直在试图弄清楚朴素版斐波那契数列的计算复杂度:
int Fibonacci(int n)
{
if (n <= 1)
return n;
else
return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}
斐波那契数列的计算复杂度是多少?它是如何计算的?
当前回答
在麻省理工学院有一个关于这个具体问题的很好的讨论。在第5页，他们指出，如果你假设一个加法需要一个计算单位，那么计算Fib(N)所需的时间与Fib(N)的结果密切相关。
因此，你可以直接跳到斐波那契数列的非常接近的近似:
Fib(N) = (1/sqrt(5)) * 1.618^(N+1) (approximately)
因此，假设朴素算法的最坏情况是
O((1/sqrt(5)) * 1.618^(N+1)) = O(1.618^(N+1))
PS:如果你想了解更多信息，维基百科上有关于第n个斐波那契数的封闭形式表达的讨论。
其他回答
它的下端以2^(n/2)为界，上端以2^n为界(如其他注释中所述)。这个递归实现的一个有趣的事实是它本身有一个紧密的Fib(n)渐近界。这些事实可以总结为:
T(n) = Ω(2^(n/2)) (lower bound)
T(n) = O(2^n) (upper bound)
T(n) = Θ(Fib(n)) (tight bound)
如果你愿意，可以用它的封闭形式进一步简化紧边界。
在麻省理工学院有一个关于这个具体问题的很好的讨论。在第5页，他们指出，如果你假设一个加法需要一个计算单位，那么计算Fib(N)所需的时间与Fib(N)的结果密切相关。
因此，你可以直接跳到斐波那契数列的非常接近的近似:
Fib(N) = (1/sqrt(5)) * 1.618^(N+1) (approximately)
因此，假设朴素算法的最坏情况是
O((1/sqrt(5)) * 1.618^(N+1)) = O(1.618^(N+1))
PS:如果你想了解更多信息，维基百科上有关于第n个斐波那契数的封闭形式表达的讨论。
好吧，根据我的说法，它是O(2^n)，因为在这个函数中，只有递归花费了相当多的时间(分治)。我们看到，上面的函数将在树中继续存在，直到叶子趋近于F(n-(n-1))级，即F(1)。因此，当我们在这里记下树的每个深度处遇到的时间复杂度时，求和级数为:
1+2+4+.......(n-1)
= 1((2^n)-1)/(2-1)
=2^n -1
它是2^n的O(2^n)阶。
证明答案很好，但我总是不得不手工做一些迭代来真正说服自己。所以我在白板上画了一个小的调用树，并开始计算节点。我将计数分为总节点、叶节点和内部节点。以下是我得到的答案:
IN | OUT | TOT | LEAF | INT
1 | 1 | 1 | 1 | 0
2 | 1 | 1 | 1 | 0
3 | 2 | 3 | 2 | 1
4 | 3 | 5 | 3 | 2
5 | 5 | 9 | 5 | 4
6 | 8 | 15 | 8 | 7
7 | 13 | 25 | 13 | 12
8 | 21 | 41 | 21 | 20
9 | 34 | 67 | 34 | 33
10 | 55 | 109 | 55 | 54
显而易见的是，叶节点的数量是fib(n)经过几次迭代才发现，内部节点的数量是fib(n) - 1。因此节点总数为2 * fib(n) - 1。
由于在对计算复杂度进行分类时去掉了系数，最终答案是θ(fib(n))。
通过绘制递归树可以更好地估计递归算法的时间复杂度，在这种情况下，绘制递归树的递归关系为T(n-1) =T(n- 2)+O(1) 注意，每一步花费O(1)意味着常数时间，因为它只做了一次比较来检查if块中的n值。递归树是这样的
n
(n-1) (n-2)
(n-2)(n-3) (n-3)(n-4) ...so on
这里假设上面树的每一层都用i表示 因此,
i
0 n
1 (n-1) (n-2)
2 (n-2) (n-3) (n-3) (n-4)
3 (n-3)(n-4) (n-4)(n-5) (n-4)(n-5) (n-5)(n-6)
假设在特定的i值处，树就结束了，也就是当n-i=1时，因此i=n-1，也就是说树的高度是n-1。 现在让我们看看树中n层中的每一层做了多少工作。注意，按照递归关系，每一步花费O(1)时间。
2^0=1 n
2^1=2 (n-1) (n-2)
2^2=4 (n-2) (n-3) (n-3) (n-4)
2^3=8 (n-3)(n-4) (n-4)(n-5) (n-4)(n-5) (n-5)(n-6) ..so on
2^i for ith level
因为i=n-1是树的高度，所以每一层所做的功为
i work
1 2^1
2 2^2
3 2^3..so on
因此，所做的总功将是每一层所做的功的总和，因此它将是2^0+2^1+2^2+2^3…+2^(n-1)，因为i=n-1。 通过几何级数，这个和是2^n，因此总时间复杂度是O(2^n)
