我在问更多关于这对我的代码意味着什么。我能从数学上理解这些概念,只是很难理解它们在概念上的含义。例如,如果有人要对一个数据结构执行O(1)操作,我知道它必须执行的操作数量不会增长,因为有更多的项。O(n)操作意味着您将对每个元素执行一组操作。有人能帮我填一下吗?
比如O(n²)的运算会怎样? 如果一个操作是O(nlog (n))这是什么意思? 有人必须吸可卡因才能写出O(x!)吗?
我在问更多关于这对我的代码意味着什么。我能从数学上理解这些概念,只是很难理解它们在概念上的含义。例如,如果有人要对一个数据结构执行O(1)操作,我知道它必须执行的操作数量不会增长,因为有更多的项。O(n)操作意味着您将对每个元素执行一组操作。有人能帮我填一下吗?
比如O(n²)的运算会怎样? 如果一个操作是O(nlog (n))这是什么意思? 有人必须吸可卡因才能写出O(x!)吗?
当前回答
我喜欢don neufeld的答案,但我想我可以加上O(nlog n)
使用简单分治策略的算法可能是O(log n)最简单的例子是在排序列表中查找某个东西。你不需要从头开始扫描。你走到中间,你决定是向后走还是向前走,跳到中途,直到你找到你要找的东西。
如果您查看快速排序或归并排序算法,您将看到它们都采用将列表分成两半,对每一半排序(使用相同的算法,递归地),然后重新组合两半的方法。这种递归分治策略是O(nlog n)
If you think about it carefully, you'll see that quicksort does an O(n) partitioning algorithm on the whole n items, then an O(n) partitioning twice on n/2 items, then 4 times on n/4 items, etc... until you get to an n partitions on 1 item (which is degenerate). The number of times you divide n in half to get to 1 is approximately log n, and each step is O(n), so recursive divide and conquer is O(n log n). Mergesort builds the other way, starting with n recombinations of 1 item, and finishing with 1 recombination of n items, where the recombination of two sorted lists is O(n).
至于抽大麻写一个O(n!)算法,除非你别无选择。上面提到的旅行推销员问题被认为是这样一个问题。
其他回答
big - o符号对代码的重要意义在于,当它所操作的“事物”数量增加一倍时,它将如何扩展。这里有一个具体的例子:
Big-O | computations for 10 things | computations for 100 things ---------------------------------------------------------------------- O(1) | 1 | 1 O(log(n)) | 3 | 7 O(n) | 10 | 100 O(n log(n)) | 30 | 700 O(n^2) | 100 | 10000
快速排序是O(nlog (n))而冒泡排序是O(n²)当排序10个东西时,快速排序比冒泡排序快3倍。但当对100个东西进行排序时,速度要快14倍!显然,选择最快的算法很重要。当您访问具有数百万行的数据库时,这可能意味着您的查询在0.2秒内执行,而不是花费数小时。
另一件需要考虑的事情是,糟糕的算法是摩尔定律无法帮助的事情。例如,如果你有一个O(n^3)的科学计算,它一天可以计算100个东西,处理器速度翻倍一天只能计算125个东西。然而,计算到O(n²),你每天要做1000件事情。
澄清: 实际上,Big-O并没有说不同算法在同一特定大小点上的性能比较,而是说同一算法在不同大小点上的性能比较:
computations computations computations Big-O | for 10 things | for 100 things | for 1000 things ---------------------------------------------------------------------- O(1) | 1 | 1 | 1 O(log(n)) | 1 | 3 | 7 O(n) | 1 | 10 | 100 O(n log(n)) | 1 | 33 | 664 O(n^2) | 1 | 100 | 10000
你可能会发现把它形象化很有用:
同样,在LogY/LogX尺度上,函数n1/2, n, n2都看起来像直线,而在LogY/X尺度上,2n, en, 10n是直线和n!是线性的(看起来像n log n)
我试图用c#和JavaScript给出简单的代码示例来解释。
C#
For List<int> numbers = new List<int> {1,2,3,4,5,6,7,12,543,7};
O(1)看起来像
return numbers.First();
O(n)看起来像
int result = 0;
foreach (int num in numbers)
{
result += num;
}
return result;
O(nlog (n))是这样的
int result = 0;
foreach (int num in numbers)
{
int index = numbers.Count - 1;
while (index > 1)
{
// yeah, stupid, but couldn't come up with something more useful :-(
result += numbers[index];
index /= 2;
}
}
return result;
O(n2)是这样的
int result = 0;
foreach (int outerNum in numbers)
{
foreach (int innerNum in numbers)
{
result += outerNum * innerNum;
}
}
return result;
O(n!)看起来,嗯,太累了,想不出任何简单的东西。 但我希望你能明白大意?
JavaScript
对于const数= [1,2,3,4,5,6,7,12,543,7];
O(1)看起来像
numbers[0];
O(n)看起来像
let result = 0;
for (num of numbers){
result += num;
}
O(nlog (n))是这样的
let result = 0;
for (num of numbers){
let index = numbers.length - 1;
while (index > 1){
// yeah, stupid, but couldn't come up with something more useful :-(
result += numbers[index];
index = Math.floor(index/2)
}
}
O(n2)是这样的
let result = 0;
for (outerNum of numbers){
for (innerNum of numbers){
result += outerNum * innerNum;
}
}
Big-O背后的“直觉
想象一下,当x趋于无穷时,x上的两个函数f(x)和g(x)之间的“竞争”。
现在,如果从某一点开始(某个x点),一个函数的值总是比另一个高,那么我们称这个函数比另一个“快”。
例如,对于每x > 100,你看到f(x) > g(x),那么f(x)比g(x)“快”。
在这种情况下,我们可以说g(x) = O(f(x))F (x)对g(x)提出了某种“速度限制”,因为最终它超过了它,并将其永远甩在后面。
这并不完全是大o符号的定义,它还指出,对于某个常数C, f(x)只需要大于C*g(x)(这只是另一种说法,你不能通过将g(x)乘以常数因子来帮助g(x)赢得竞争- f(x)最终总是会赢)。正式的定义也使用绝对值。但我希望我能让它更直观。
假设你有一台可以解决一定规模问题的计算机。现在想象一下,我们可以将性能提高几倍。每加倍一次,我们能解决多大的问题?
如果我们能解决一个两倍大的问题,那就是O(n)
如果我们有一个非1的乘数,那就是某种多项式复杂度。例如,如果每加倍一次,问题的规模就会增加约40%,即O(n²),而约30%则是O(n³)。
如果我们只是增加问题的规模,它是指数级的,甚至更糟。例如,如果每翻一倍意味着我们可以解决一个大1的问题,它就是O(2^n)。(这就是为什么使用合理大小的密钥实际上不可能强制使用密码密钥:128位密钥需要的处理量大约是64位密钥的16万亿倍。)