我只是想用一些简单的向量数学来解释安德里亚斯给出的重心坐标解，它会更容易理解。

区域A定义为s * v02 + t * v01给出的任意向量，条件s >= 0, t >= 0。如果三角形v0 v1 v2内的任意一点，它一定在区域A内。

如果进一步限制s, t属于[0,1]。得到包含s * v02 + t * v01的所有向量的区域B，条件s, t属于[0,1]。值得注意的是，区域B的下部是三角形v0, v1, v2的镜像。问题来了，我们是否可以给定一定的s和t条件，来进一步排除区域B的低部分。

假设我们给出一个值s, t在[0,1]内变化。在下图中，点p位于v1v2的边缘。s * v02 + t * v01的所有向量沿着虚线通过简单向量和得到。在v1v2和虚线交点p处，我们有:

（1-S）|V0v2|/ |v0v2|= tp|v0v1|/ |v0v1|

得到1 - s = tp，然后1 = s + tp。如果任意t > tp，即1 < s + t where在双虚线上，则该向量在三角形外，任意t <= tp，即1 >= s + t where在单虚线上，则该向量在三角形内。

如果我们给出[0,1]中的任意s，对应的t必须满足1 >= s + t，对于三角形内的向量。

最后我们得到v = s * v02 +t * v01, v在三角形内，条件s, t, s+t属于[0,1]。然后翻译到点，我们有

P - p0 = s * (p1 - p0) + t * (p2 - p0)， and s, t, s + t in [0,1]

和Andreas解方程组的解是一样的 P = p0 + s * (p1 - p0) + t * (p2 - p0)，带s, t, s + t属于[0,1]。

求解如下方程组:

p = p0 + (p1 - p0) * s + (p2 - p0) * t

当0 <= s <= 1和0 <= t <= 1以及s + t <= 1时，点p在三角形内。

S,t和1 - S - t称为点p的重心坐标。

一个简单的方法是:

找出连接 分别指向三角形的三个点 顶点和夹角之和 这些向量。如果它们的和 角度是2*那么点是 在三角形里面。

两个解释替代方案的好网站是:

黑卒和沃尔夫勒姆

我要做的是预先计算三个面法线，

在三维中通过边向量和面法向量的叉乘得到。 通过简单地交换分量和负一个，

对于任意一条边的内/外都是边法线和点到点向量的点积，改变符号。重复其他两(或更多)面。

好处:

在同一个三角形上进行多点测试，很多都是预先计算好的。 早期拒签的常见情况是外分多内分。(如果点分布偏向一侧，可以先测试这一侧。)

下面是一个python解决方案，它是高效的，文档化的，包含三个单元测试。它具有专业级的质量，并且可以以模块的形式放入您的项目中。

import unittest

###############################################################################
def point_in_triangle(point, triangle):
    """Returns True if the point is inside the triangle
    and returns False if it falls outside.
    - The argument *point* is a tuple with two elements
    containing the X,Y coordinates respectively.
    - The argument *triangle* is a tuple with three elements each
    element consisting of a tuple of X,Y coordinates.

    It works like this:
    Walk clockwise or counterclockwise around the triangle
    and project the point onto the segment we are crossing
    by using the dot product.
    Finally, check that the vector created is on the same side
    for each of the triangle's segments.
    """
    # Unpack arguments
    x, y = point
    ax, ay = triangle[0]
    bx, by = triangle[1]
    cx, cy = triangle[2]
    # Segment A to B
    side_1 = (x - bx) * (ay - by) - (ax - bx) * (y - by)
    # Segment B to C
    side_2 = (x - cx) * (by - cy) - (bx - cx) * (y - cy)
    # Segment C to A
    side_3 = (x - ax) * (cy - ay) - (cx - ax) * (y - ay)
    # All the signs must be positive or all negative
    return (side_1 < 0.0) == (side_2 < 0.0) == (side_3 < 0.0)

###############################################################################
class TestPointInTriangle(unittest.TestCase):

    triangle = ((22 , 8),
                (12 , 55),
                (7 , 19))

    def test_inside(self):
        point = (15, 20)
        self.assertTrue(point_in_triangle(point, self.triangle))

    def test_outside(self):
        point = (1, 7)
        self.assertFalse(point_in_triangle(point, self.triangle))

    def test_border_case(self):
        """If the point is exactly on one of the triangle's edges,
        we consider it is inside."""
        point = (7, 19)
        self.assertTrue(point_in_triangle(point, self.triangle))

###############################################################################
if __name__ == "__main__":
    suite = unittest.defaultTestLoader.loadTestsFromTestCase(TestPointInTriangle)
    unittest.TextTestRunner().run(suite)

上面的算法有一个额外的可选图形测试，以确认其有效性:

import random
from matplotlib import pyplot
from triangle_test import point_in_triangle

###############################################################################
# The area #
size_x = 64
size_y = 64

# The triangle #
triangle = ((22 , 8),
            (12 , 55),
            (7 , 19))

# Number of random points #
count_points = 10000

# Prepare the figure #
figure = pyplot.figure()
axes = figure.add_subplot(111, aspect='equal')
axes.set_title("Test the 'point_in_triangle' function")
axes.set_xlim(0, size_x)
axes.set_ylim(0, size_y)

# Plot the triangle #
from matplotlib.patches import Polygon
axes.add_patch(Polygon(triangle, linewidth=1, edgecolor='k', facecolor='none'))

# Plot the points #
for i in range(count_points):
    x = random.uniform(0, size_x)
    y = random.uniform(0, size_y)
    if point_in_triangle((x,y), triangle): pyplot.plot(x, y, '.g')
    else:                                  pyplot.plot(x, y, '.b')

# Save it #
figure.savefig("point_in_triangle.pdf")

制作以下图表:

重心法Java版:

class Triangle {
    Triangle(double x1, double y1, double x2, double y2, double x3,
            double y3) {
        this.x3 = x3;
        this.y3 = y3;
        y23 = y2 - y3;
        x32 = x3 - x2;
        y31 = y3 - y1;
        x13 = x1 - x3;
        det = y23 * x13 - x32 * y31;
        minD = Math.min(det, 0);
        maxD = Math.max(det, 0);
    }

    boolean contains(double x, double y) {
        double dx = x - x3;
        double dy = y - y3;
        double a = y23 * dx + x32 * dy;
        if (a < minD || a > maxD)
            return false;
        double b = y31 * dx + x13 * dy;
        if (b < minD || b > maxD)
            return false;
        double c = det - a - b;
        if (c < minD || c > maxD)
            return false;
        return true;
    }

    private final double x3, y3;
    private final double y23, x32, y31, x13;
    private final double det, minD, maxD;
}

上面的代码可以准确地处理整数，假设没有溢出。它也适用于顺时针和逆时针三角形。它不适用于共线三角形(但您可以通过测试det==0来检查)。

如果你要用同一个三角形测试不同的点，以重心为中心的版本是最快的。

重心版本在3个三角形点上是不对称的，所以它可能不如Kornel Kisielewicz的边缘半平面版本一致，因为浮点舍入误差。

图片来源:我根据维基百科关于重心坐标的文章制作了上面的代码。