整数牛顿法

如果希望避免非整数运算，可以使用以下方法。它基本上使用了为整数运算而修改的牛顿法。

/**
 * Test if the given number is a perfect square.
 * @param n Must be greater than 0 and less
 *    than Long.MAX_VALUE.
 * @return <code>true</code> if n is a perfect
 *    square, or <code>false</code> otherwise.
 */
public static boolean isSquare(long n)
{
    long x1 = n;
    long x2 = 1L;

    while (x1 > x2)
    {
        x1 = (x1 + x2) / 2L;
        x2 = n / x1;
    }

    return x1 == x2 && n % x1 == 0L;
}

此实现无法与使用Math.sqrt的解决方案竞争。但是，可以通过使用其他文章中描述的过滤机制来提高其性能。

使用牛顿的方法计算整数平方根，然后对这个数字进行平方并进行检查，这应该快得多，就像您在当前解决方案中所做的那样。牛顿方法是其他答案中提到的卡马克解的基础。你应该能够得到更快的答案，因为你只对根的整数部分感兴趣，这样你就可以更快地停止近似算法。

另一个可以尝试的优化：如果数字的数字根不以1、4、7或9这个数字不是一个完美的正方形。这可以作为在应用较慢的平方根算法之前消除60%输入的快速方法。

为了表现，你经常不得不做一些宣传。其他人表达了不同的方法，然而，你注意到卡马克的黑客在达到N的某些值时更快。然后，你应该检查“N”，如果它小于N，请使用卡马克的方法，否则使用此处答案中描述的其他方法。

可能是该问题的最佳算法是快速整数平方根算法https://stackoverflow.com/a/51585204/5191852

@Kde声称牛顿法的三次迭代对于32位整数的精度为±1就足够了。当然，64位整数需要更多的迭代，可能是6或7。

标签中提到了项目Euler，其中的许多问题需要检查数字>>2^64。当您使用80字节缓冲区时，上面提到的大多数优化都不容易工作。

我使用了javaBigInteger和稍微修改过的Newton方法，它对整数更有效。问题是，精确的平方n^2收敛到（n-1）而不是n，因为n^2-1=（n-1）（n+1），最终误差仅比最终除数低一步，算法终止。在计算错误之前，通过在原始参数中添加一个参数很容易解决。（为立方体根等添加两个）

这个算法的一个优点是，你可以立即判断出这个数字是否是一个完美的平方-牛顿方法中的最终误差（不是校正）将为零。一个简单的修改也可以让您快速计算floor（sqrt（x）），而不是最接近的整数。这对于几个Euler问题很方便。

一个数字的平方根，假设该数字是一个完全平方。

复杂性为log（n）

/**
 * Calculate square root if the given number is a perfect square.
 * 
 * Approach: Sum of n odd numbers is equals to the square root of n*n, given 
 * that n is a perfect square.
 *
 * @param number
 * @return squareRoot
 */

public static int calculateSquareRoot(int number) {

    int sum=1;
    int count =1;
    int squareRoot=1;
    while(sum<number) {
        count+=2;
        sum+=count;
        squareRoot++;
    }
    return squareRoot;
}