我正在寻找确定长值是否为完美平方（即其平方根是另一个整数）的最快方法：
我使用内置的Math.sqrt（）以简单的方式完成了这项工作函数，但我想知道是否有一种方法可以通过将自己限制为仅限整数的域。维护查找表是不切实际的（因为平方小于263的231.5个整数）。
下面是我现在做的非常简单明了的方法：
public final static boolean isPerfectSquare(long n)
{
if (n < 0)
return false;
long tst = (long)(Math.sqrt(n) + 0.5);
return tst*tst == n;
}
注意：我在许多Project Euler问题中都使用了这个函数。因此，其他人将永远不必维护此代码。而这种微优化实际上可能会有所不同，因为挑战的一部分是在不到一分钟的时间内完成每一个算法，而在某些问题中，这个函数需要调用数百万次。
我尝试了不同的解决方案：
经过详尽的测试，我发现不需要在Math.sqrt（）的结果上加0.5，至少在我的机器上是这样。快速平方根逆运算速度更快，但对于n>=410881，它给出了错误的结果。然而，正如BobbyShaftoe所建议的，我们可以在n<410881时使用FISR黑客。牛顿的方法比Math.sqrt（）慢得多。这可能是因为Math.sqr（）使用了类似于牛顿方法的东西，但在硬件中实现，所以比Java快得多。此外，牛顿法仍然需要使用双精度。一个经过修改的牛顿方法使用了一些技巧，因此只涉及整数数学，需要一些技巧来避免溢出（我希望这个函数可以处理所有64位有符号的正整数），而且它仍然比math.sqrt（）慢。二元斩更慢。这是有意义的，因为二进制斩波平均需要16次才能找到64位数字的平方根。根据John的测试，在C++中使用or语句比使用switch更快，但在Java和C#中，or和switch之间似乎没有区别。我还尝试创建一个查找表（作为64个布尔值的私有静态数组）。然后，我只说if（lookup[（int）（n&0x3F）]）｛test｝else return false；，而不是switch或or语句；。令我惊讶的是，这（只是稍微）慢了一些。这是因为在Java中检查数组边界。
为了记录在案，另一种方法是使用素分解。如果分解的每个因子都是偶数，那么这个数就是一个完美的平方。所以你想要的是看看一个数是否可以分解成质数平方的乘积。当然，你不需要获得这样的分解，只是为了看看它是否存在。
首先建立一个小于2^32的素数平方表。这远远小于一个包含所有整数的表，直到这个极限。
解决方案如下：
boolean isPerfectSquare(long number)
{
if (number < 0) return false;
if (number < 2) return true;
for (int i = 0; ; i++)
{
long square = squareTable[i];
if (square > number) return false;
while (number % square == 0)
{
number /= square;
}
if (number == 1) return true;
}
}
我想这有点神秘。它所做的是在每一步中检查质数的平方除以输入数。如果这样做了，那么它将尽可能地将数字除以平方，以从素数分解中删除这个平方。如果通过这个过程，我们得到1，那么输入数是素数平方的分解。如果平方比数字本身大，那么这个平方或任何更大的平方都无法分割它，所以数字不能是素数平方的分解。
考虑到现在的sqrt是在硬件中完成的，并且需要在这里计算素数，我想这个解决方案要慢得多。但正如mrzl在他的回答中所说，它应该比sqrt的解决方案给出更好的结果，sqrt的工作时间不会超过2^54。
我在想我在数值分析课程中度过的可怕时光。
然后我记得，在Quake源代码中，有一个函数围绕着“网络”旋转：
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // wtf?
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif
return y;
}
它基本上使用牛顿近似函数（记不清确切的名字）计算平方根。
它应该是可用的，甚至可能更快，它来自一个非凡的id软件的游戏！
它是用C++编写的，但一旦你有了这样的想法，在Java中重用同样的技术应该不会太难：
我最初在以下位置找到它：http://www.codemaestro.com/reviews/9
牛顿的方法在维基百科上解释：http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method
您可以通过链接了解更多的工作原理，但如果您不太在意，那么这大概是我在阅读博客和参加数值分析课程时所记得的：
*（long*）&y基本上是一个快速转换为long的函数，因此整数运算可以应用于原始字节。0x5f3759df-（i>>1）；line是近似函数的预先计算的种子值。*（float*）-i将值转换回浮点。y=y*（three-half-（x2*y*y））行基本上再次迭代函数上的值。
在结果上迭代函数的次数越多，逼近函数给出的值就越精确。在Quake的案例中，一次迭代“足够好”，但如果不是为了你。。。然后您可以添加所需的迭代次数。
这应该更快，因为它减少了在简单平方根中执行的除法运算的数量（实际上是一个*0.5F乘法运算），并用一些固定数量的乘法运算代替。
整数牛顿法
如果希望避免非整数运算，可以使用以下方法。它基本上使用了为整数运算而修改的牛顿法。
/**
* Test if the given number is a perfect square.
* @param n Must be greater than 0 and less
* than Long.MAX_VALUE.
* @return <code>true</code> if n is a perfect
* square, or <code>false</code> otherwise.
*/
public static boolean isSquare(long n)
{
long x1 = n;
long x2 = 1L;
while (x1 > x2)
{
x1 = (x1 + x2) / 2L;
x2 = n / x1;
}
return x1 == x2 && n % x1 == 0L;
}
此实现无法与使用Math.sqrt的解决方案竞争。但是，可以通过使用其他文章中描述的过滤机制来提高其性能。
