我正在学习大O符号的运行时间和摊销时间。我理解O（n）线性时间的概念，这意味着输入的大小成比例地影响算法的增长。。。例如，二次时间O（n2）等也是如此。甚至是通过阶乘增长的算法，如置换生成器，其O（n！）次。
例如，以下函数为O（n），因为算法与其输入n成比例增长：
f(int n) {
int i;
for (i = 0; i < n; ++i)
printf("%d", i);
}
类似地，如果存在嵌套循环，时间将为O（n2）。
但O（log n）到底是什么？例如，说一个完整的二叉树的高度是O（log n）是什么意思？
我确实知道（也许不是很详细）对数是什么，从这个意义上说：log10 100=2，但我不知道如何识别具有对数时间的函数。
当前回答
但O（log n）到底是什么？例如，如果一个>完整二叉树的高度是O（logn），这意味着什么？
我会将其重新表述为“完整二叉树的高度是logn”。如果一步一步向下遍历，计算完整的二叉树的高度将是O（logn）。
我无法理解如何用对数来识别函数时间
对数本质上是幂的倒数。因此，如果函数的每个“步骤”都在从原始项集中删除一个元素因子，那就是对数时间算法。
对于树的示例，您可以很容易地看到，当您继续遍历时，逐步降低节点级别会减少指数级的元素数量。浏览按姓名排序的电话簿的流行示例基本上等同于遍历二进制搜索树（中间页面是根元素，您可以在每个步骤中推断是向左还是向右）。
其他回答
这个问题已经有了很多好的答案，但我相信我们真的错过了一个重要的答案，那就是图解的答案。
说一个完整的二叉树的高度是O（logn）是什么意思？
下图描述了一个二叉树。请注意，与上面的级别相比，每个级别包含的节点数量是两倍（因此是二进制的）：
二进制搜索是一个复杂度为O（logn）的示例。假设图1中树底部的节点表示某个排序集合中的项目。二进制搜索是一种分而治之的算法，图中显示了我们需要（最多）4次比较才能找到我们在这个16项数据集中搜索的记录。
假设我们有一个包含32个元素的数据集。继续上面的图，发现我们现在需要5次比较才能找到我们正在搜索的内容，因为当我们乘以数据量时，树只增长了一层。结果，该算法的复杂性可以用对数级数来描述。
在一张普通纸上绘制对数（n）将生成曲线图，其中曲线的上升速度随着n的增加而减慢：
我可以补充一些有趣的东西，很久以前我在科尔曼等的书中读过。现在，想象一个问题，我们必须在问题空间中找到解决方案。这个问题空间应该是有限的。
现在，如果你能证明，在你的算法的每一次迭代中，你都切断了这个空间的一部分，这不小于某个极限，这意味着你的算法在O（logN）时间内运行。
我应该指出，我们这里讨论的是相对分数极限，而不是绝对分数极限。二进制搜索是一个经典的例子。在每一步中，我们都会丢掉1/2的问题空间。但二进制搜索并不是唯一的例子。假设，你以某种方式证明了，在每一步中，你至少丢掉了1/128的问题空间。这意味着，您的程序仍然以O（logN）时间运行，尽管比二进制搜索慢得多。这是分析递归算法的一个很好的提示。通常可以证明，在每一步递归都不会使用几个变量，这会导致问题空间中某些分数的截断。
我可以举一个for循环的例子，也许一旦掌握了这个概念，在不同的上下文中理解起来会更简单。
这意味着在循环中，步长呈指数增长。例如。
for (i=1; i<=n; i=i*2) {;}
该程序的O表示法的复杂性为O（log（n））。让我们尝试手动循环（n介于512和1023之间（不包括1024）：
step: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i: 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512
尽管n介于512和1023之间，但只进行了10次迭代。这是因为循环中的步骤呈指数增长，因此只需要10次迭代就可以到达终点。
x的对数（到a的底）是a^x的反函数。这就像说对数是指数的倒数。
现在试着这样看，如果指数增长非常快，那么对数增长（相反）非常慢。
O（n）和O（log（n））之间的差异是巨大的，类似于O（n（n）与O（a^n）之间的区别（a是常数）。
你可以通过说时间与N中的位数成正比来直观地想到O（log N）。
如果一个操作对输入的每个数字或位执行恒定的时间工作，则整个操作所花费的时间将与输入中的数字或位的数量成比例，而不是与输入的大小成比例；因此是O（log N）而不是O（N）。
如果一个操作做出一系列恒定的时间决定，每个决定将要考虑的输入的大小减半（减少3、4、5…的因子），那么整个过程将花费与输入大小N的对数基2（基3、基4、基5…）成比例的时间，而不是O（N）。
等等
O（logn）指的是一个函数（或算法，或算法中的步骤），其工作时间与输入大小的对数成正比（大多数情况下通常以2为基数，但并不总是以2为底，在任何情况下，通过big-O符号*，这都是无关紧要的）。
对数函数是指数函数的倒数。换句话说，如果您的输入呈指数增长（而不是通常认为的线性增长），则函数呈线性增长。
O（logn）运行时间在任何一种分而治之的应用程序中都很常见，因为（理想情况下）每次都会将工作减半。如果在每一个除法或征服步骤中，你都在做恒定时间的工作（或不是恒定时间的，但随着时间的增长比O（log n）慢），那么你的整个函数就是O（log）。相当常见的是，每个步骤都需要输入线性时间；这将相当于O（n log n）的总时间复杂度。
二进制搜索的运行时间复杂性是O（logn）的一个例子。这是因为在二进制搜索中，通过将数组分成两半，并且每一步只关注一半，您总是忽略后面每一步的一半输入。每一步都是恒定的时间，因为在二进制搜索中，您只需要将一个元素与关键字进行比较，就可以确定下一步要做什么，而不管您考虑的数组在任何时候都有多大。因此，大约执行log（n）/log（2）步。
合并排序的运行时间复杂性是O（n log n）的一个例子。这是因为每一步都将阵列一分为二，总共约为log（n）/log（2）步。然而，在每一步中，您都需要对所有元素执行合并操作（无论是对n/2个元素的两个子列表执行一次合并操作，还是对n/4个元素的四个子列表执行两次合并操作都是无关紧要的，因为这增加了每一步对n个元素执行合并的必要性）。因此，总复杂度为O（n log n）。
*记住，根据定义，big-O表示法并不重要。同样，通过改变对数的基数规则，不同基数的对数之间的唯一差异是一个常数因子。
