我正在学习大O符号的运行时间和摊销时间。我理解O(n)线性时间的概念,这意味着输入的大小成比例地影响算法的增长。。。例如,二次时间O(n2)等也是如此。甚至是通过阶乘增长的算法,如置换生成器,其O(n!)次。

例如,以下函数为O(n),因为算法与其输入n成比例增长:

f(int n) {
  int i;
  for (i = 0; i < n; ++i)
    printf("%d", i);
}

类似地,如果存在嵌套循环,时间将为O(n2)。

但O(log n)到底是什么?例如,说一个完整的二叉树的高度是O(log n)是什么意思?

我确实知道(也许不是很详细)对数是什么,从这个意义上说:log10 100=2,但我不知道如何识别具有对数时间的函数。


当前回答

如果您有一个函数需要:

1 millisecond to complete if you have 2 elements.
2 milliseconds to complete if you have 4 elements.
3 milliseconds to complete if you have 8 elements.
4 milliseconds to complete if you have 16 elements.
...
n milliseconds to complete if you have 2^n elements.

然后需要log2(n)时间。广义地说,大O符号意味着关系只需要对大n成立,常数因子和小项可以忽略。

其他回答

O(logn)有点误导,更准确地说,它是O(log2n),即(以2为底的对数)。

平衡二叉树的高度是O(log2n),因为每个节点都有两个(注意log2n中的“两个”)子节点。因此,具有n个节点的树的高度为log2n。

另一个例子是二进制搜索,它的运行时间为O(log2n),因为在每一步中,您都将搜索空间除以2。

简单地说:在算法的每一步,你都可以将工作减半。(渐近等价于第三、第四、…)

我可以补充一些有趣的东西,很久以前我在科尔曼等的书中读过。现在,想象一个问题,我们必须在问题空间中找到解决方案。这个问题空间应该是有限的。

现在,如果你能证明,在你的算法的每一次迭代中,你都切断了这个空间的一部分,这不小于某个极限,这意味着你的算法在O(logN)时间内运行。

我应该指出,我们这里讨论的是相对分数极限,而不是绝对分数极限。二进制搜索是一个经典的例子。在每一步中,我们都会丢掉1/2的问题空间。但二进制搜索并不是唯一的例子。假设,你以某种方式证明了,在每一步中,你至少丢掉了1/128的问题空间。这意味着,您的程序仍然以O(logN)时间运行,尽管比二进制搜索慢得多。这是分析递归算法的一个很好的提示。通常可以证明,在每一步递归都不会使用几个变量,这会导致问题空间中某些分数的截断。

完整的二进制示例是O(ln n),因为搜索结果如下:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

搜索4个会产生3次命中:6次,3次,然后4次。而log2 12=3,这是一个很好的近似值,以多少命中需要。

实际上,如果您有一个n个元素的列表,并从该列表中创建一个二叉树(就像在除法和征服算法中一样),您将一直除以2,直到达到大小为1的列表(树叶)。

在第一步,你除以2。然后,您有2个列表(2^1),将每个列表除以2,因此您有4个列表(2*2),然后再进行一次除法,您有8个列表(3^3),依此类推,直到列表大小为1

这给出了一个等式:

n/(2^步)=1<=>n=2^步<=>lg(n)=步

(取每边的lg,lg为对数基数2)