我正在学习大O符号的运行时间和摊销时间。我理解O（n）线性时间的概念，这意味着输入的大小成比例地影响算法的增长。。。例如，二次时间O（n2）等也是如此。甚至是通过阶乘增长的算法，如置换生成器，其O（n！）次。
例如，以下函数为O（n），因为算法与其输入n成比例增长：
f(int n) {
int i;
for (i = 0; i < n; ++i)
printf("%d", i);
}
类似地，如果存在嵌套循环，时间将为O（n2）。
但O（log n）到底是什么？例如，说一个完整的二叉树的高度是O（log n）是什么意思？
我确实知道（也许不是很详细）对数是什么，从这个意义上说：log10 100=2，但我不知道如何识别具有对数时间的函数。
当前回答
这两种情况需要O（log n）时间
case 1: f(int n) {
int i;
for (i = 1; i < n; i=i*2)
printf("%d", i);
}
case 2 : f(int n) {
int i;
for (i = n; i>=1 ; i=i/2)
printf("%d", i);
}
其他回答
实际上，如果您有一个n个元素的列表，并从该列表中创建一个二叉树（就像在除法和征服算法中一样），您将一直除以2，直到达到大小为1的列表（树叶）。
在第一步，你除以2。然后，您有2个列表（2^1），将每个列表除以2，因此您有4个列表（2*2），然后再进行一次除法，您有8个列表（3^3），依此类推，直到列表大小为1
这给出了一个等式：
n/（2^步）=1<=>n=2^步<=>lg（n）=步
（取每边的lg，lg为对数基数2）
对数
好的，让我们试着完全理解对数到底是什么。
想象一下，我们有一根绳子，把它拴在一匹马身上。如果绳子直接系在马身上，那么马拉离（例如，从人身上）所需的力直接为1。
现在想象绳子绕在一根杆子上。要想脱身的马现在必须用力拉很多倍。次数取决于绳索的粗糙度和杆的大小，但我们假设它会将一个人的力量乘以10（当绳索完全转弯时）。
现在，如果绳子绕一圈，马需要用力拉10倍。如果人类决定让马变得很困难，他可以再次将绳子绕在一根杆子上，使它的力量增加10倍。第三个循环将再次将强度增加10倍。
我们可以看到，对于每个循环，值增加10。获得任何数字所需的圈数称为数字的对数，即我们需要3个柱将你的力量乘以1000倍，需要6个柱将力量乘以1000000。
3是1000的对数，6是1000000的对数（以10为底）。
那么O（log n）实际上是什么意思？
在上面的例子中，我们的“增长率”是O（logn）。每增加一圈，我们的绳子所能承受的力就会增加10倍：
Turns | Max Force
0 | 1
1 | 10
2 | 100
3 | 1000
4 | 10000
n | 10^n
现在上面的例子确实使用了基数10，但幸运的是，当我们讨论大o符号时，对数的基数是微不足道的。
现在，让我们假设您正在尝试猜测1-100之间的数字。
Your Friend: Guess my number between 1-100!
Your Guess: 50
Your Friend: Lower!
Your Guess: 25
Your Friend: Lower!
Your Guess: 13
Your Friend: Higher!
Your Guess: 19
Your Friend: Higher!
Your Friend: 22
Your Guess: Lower!
Your Guess: 20
Your Friend: Higher!
Your Guess: 21
Your Friend: YOU GOT IT!
现在你猜了7次才猜对。但这里的关系是什么？你可以从每一个额外的猜测中猜出最多的项目是什么？
Guesses | Items
1 | 2
2 | 4
3 | 8
4 | 16
5 | 32
6 | 64
7 | 128
10 | 1024
使用该图，我们可以看到，如果我们使用二进制搜索来猜测1-100之间的数字，最多需要7次尝试。如果我们有128个数字，我们也可以在7次尝试中猜出数字，但129个数字最多需要8次尝试（与对数相关，这里我们需要7次猜测128个值范围，10次猜测1024个值范围。7是128的对数，10是1024的对数（以2为底））。
注意，我用粗体字“最多”。大O符号总是指更坏的情况。如果你运气好，你可以一次猜出数字，所以最好的情况是O（1），但那是另一回事。
我们可以看到，我们的数据集正在缩小。识别算法是否具有对数时间的一个很好的经验法则是查看数据集在每次迭代后是否按一定顺序收缩
O（n log n）呢？
你最终会遇到一个线性时间O（n log（n））算法。上述经验法则再次适用，但这一次对数函数必须运行n次，例如，将列表的大小减少n次，这在合并排序等算法中发生。
您可以很容易地确定算法时间是否为n log n。寻找一个在列表（O（n））中迭代的外部循环。然后查看是否存在内部循环。如果内部循环在每次迭代时都在切割/减少数据集，则该循环为（O（logn）），因此整个算法为=O（n logn）。
免责声明：绳对数示例摘自W.Sawyer的《数学家的喜悦》一书。
O（logN）基本上意味着时间线性上升，而N指数上升。因此，如果计算10个元素需要1秒，则计算100个元素需要2秒，计算1000个元素需要3秒，依此类推。
当我们进行分而治之的算法（如二进制搜索）时，它是O（logn）。另一个例子是快速排序，每次我们将数组分成两部分，每次都需要O（N）时间才能找到一个枢轴元素。因此，N O（log N）
我可以补充一些有趣的东西，很久以前我在科尔曼等的书中读过。现在，想象一个问题，我们必须在问题空间中找到解决方案。这个问题空间应该是有限的。
现在，如果你能证明，在你的算法的每一次迭代中，你都切断了这个空间的一部分，这不小于某个极限，这意味着你的算法在O（logN）时间内运行。
我应该指出，我们这里讨论的是相对分数极限，而不是绝对分数极限。二进制搜索是一个经典的例子。在每一步中，我们都会丢掉1/2的问题空间。但二进制搜索并不是唯一的例子。假设，你以某种方式证明了，在每一步中，你至少丢掉了1/128的问题空间。这意味着，您的程序仍然以O（logN）时间运行，尽管比二进制搜索慢得多。这是分析递归算法的一个很好的提示。通常可以证明，在每一步递归都不会使用几个变量，这会导致问题空间中某些分数的截断。
在信息技术中，它意味着：
f(n)=O(g(n)) If there is suitable constant C and N0 independent on N,
such that
for all N>N0 "C*g(n) > f(n) > 0" is true.
看来这个符号主要是从数学中提取出来的。
本文引用了一句话：D.E.Knuth，《大OMICRON、大OMEGA和大THETA》，1976年：
基于这里讨论的问题，我建议SIGACT以及计算机科学和数学期刊的编辑，采用上面定义的符号，除非有更好的替代方案很快就会发现。
今天是2016年，但我们今天仍然使用它。
在数学分析中，这意味着：
lim (f(n)/g(n))=Constant; where n goes to +infinity
但即使在数学分析中，有时这个符号也用于表示“C*g（n）>f（n）>0”。
我从大学里就知道，这个符号是由德国数学家朗道（1877-1938）创造的
