我正在学习大O符号的运行时间和摊销时间。我理解O(n)线性时间的概念,这意味着输入的大小成比例地影响算法的增长。。。例如,二次时间O(n2)等也是如此。甚至是通过阶乘增长的算法,如置换生成器,其O(n!)次。

例如,以下函数为O(n),因为算法与其输入n成比例增长:

f(int n) {
  int i;
  for (i = 0; i < n; ++i)
    printf("%d", i);
}

类似地,如果存在嵌套循环,时间将为O(n2)。

但O(log n)到底是什么?例如,说一个完整的二叉树的高度是O(log n)是什么意思?

我确实知道(也许不是很详细)对数是什么,从这个意义上说:log10 100=2,但我不知道如何识别具有对数时间的函数。


当前回答

O(logN)基本上意味着时间线性上升,而N指数上升。因此,如果计算10个元素需要1秒,则计算100个元素需要2秒,计算1000个元素需要3秒,依此类推。

​当我们进行分而治之的算法(如二进制搜索)时,它是O(logn)。另一个例子是快速排序,每次我们将数组分成两部分,每次都需要O(N)时间才能找到一个枢轴元素。因此,N O(log N)

其他回答

如果您有一个函数需要:

1 millisecond to complete if you have 2 elements.
2 milliseconds to complete if you have 4 elements.
3 milliseconds to complete if you have 8 elements.
4 milliseconds to complete if you have 16 elements.
...
n milliseconds to complete if you have 2^n elements.

然后需要log2(n)时间。广义地说,大O符号意味着关系只需要对大n成立,常数因子和小项可以忽略。

对数运行时间(O(log n))本质上意味着运行时间与输入大小的对数成比例增长-例如,如果10个项目最多需要一定的时间x,100个项目最多花费2倍,10000个项目最多耗费4倍,那么它看起来像是O(log n)时间复杂性。

概述

其他人已经给出了很好的图表示例,例如树形图。我没有看到任何简单的代码示例。因此,除了我的解释,我还将提供一些带有简单打印语句的算法,以说明不同算法类别的复杂性。

首先,你需要对对数有一个大致的了解,你可以从https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm . 自然科学使用e和自然日志。工程弟子将使用log_10(对数基数10),计算机科学家将大量使用log_2(对数基数2),因为计算机是基于二进制的。有时你会看到自然log的缩写为ln(),工程师通常不使用_10,只使用log(),log_2缩写为lg()。所有类型的对数都以类似的方式增长,这就是为什么它们共享相同的log(n)类别。

当您查看下面的代码示例时,我建议您先查看O(1),然后查看O(n),然后再查看O(n^2)。在你擅长这些之后,再看看其他的。我已经包含了干净的示例和变体,以证明细微的变化仍然可以导致相同的分类。

你可以把O(1)、O(n)、O(logn)等看作是增长的类或类别。有些类别要比其他类别花费更多的时间。这些类别有助于我们对算法性能进行排序。有些随着输入n的增长而增长得更快。下表以数字形式显示了上述增长。在下表中,将log(n)视为log_2的上限。

各种大O类别的简单代码示例:

O(1)-恒定时间示例:

算法1:

算法1打印一次hello,它不依赖于n,所以它总是在恒定的时间内运行,所以它是O(1)。

print "hello";

算法2:

算法2打印hello 3次,但它不取决于输入大小。即使随着n的增长,该算法也将始终只打印hello 3次。也就是说,3是一个常数,所以这个算法也是O(1)。

print "hello";
print "hello";
print "hello";

O(log(n))-对数示例:

算法3-其行为类似于“log_2”

算法3演示了在log_2(n)中运行的算法。注意for循环的后操作将i的当前值乘以2,因此i从1到2到4到8到16到32。。。

for(int i = 1; i <= n; i = i * 2)
  print "hello";

算法4-其行为类似于“log_3”

算法4证明了log_3。注意我从1到3到9到27。。。

for(int i = 1; i <= n; i = i * 3)
  print "hello";

算法5-其行为类似于“log_1.02”

算法5很重要,因为它有助于表明,只要数字大于1,并且结果与自身重复相乘,那么你就在看对数算法。

for(double i = 1; i < n; i = i * 1.02)
  print "hello";

O(n)-线性时间示例:

算法6

这个算法很简单,可以打印n次hello。

for(int i = 0; i < n; i++)
  print "hello";

算法7

该算法显示了一种变体,它将打印hello n/2次。n/2=1/2*n。我们忽略1/2常数,看到这个算法是O(n)。

for(int i = 0; i < n; i = i + 2)
  print "hello";

O(n*log(n))-log(n)示例:

算法8

将其视为O(log(n))和O(n)的组合。for循环的嵌套帮助我们获得O(n*log(n))

for(int i = 0; i < n; i++)
  for(int j = 1; j < n; j = j * 2)
    print "hello";

算法9

算法9类似于算法8,但每个循环都允许变化,这仍然导致最终结果为O(n*log(n))

for(int i = 0; i < n; i = i + 2)
  for(int j = 1; j < n; j = j * 3)
    print "hello";

O(n^2)-n平方示例:

算法10

O(n^2)很容易通过循环的嵌套标准获得。

for(int i = 0; i < n; i++)
  for(int j = 0; j < n; j++)
    print "hello";

算法11

类似于算法10,但有一些变化。

for(int i = 0; i < n; i++)
  for(int j = 0; j < n; j = j + 2)
    print "hello";

O(n^3)-n立方示例:

算法12

这类似于算法10,但有3个循环而不是2个。

for(int i = 0; i < n; i++)
  for(int j = 0; j < n; j++)
    for(int k = 0; k < n; k++)
      print "hello";

算法13

类似于算法12,但具有一些仍然产生O(n^3)的变化。

for(int i = 0; i < n; i++)
  for(int j = 0; j < n + 5; j = j + 2)
    for(int k = 0; k < n; k = k + 3)
      print "hello";

总结

上面给出了几个直接的例子和变化,以帮助说明可以引入哪些细微的变化,而这些变化实际上不会改变分析。希望它能给你足够的洞察力。

O(logN)基本上意味着时间线性上升,而N指数上升。因此,如果计算10个元素需要1秒,则计算100个元素需要2秒,计算1000个元素需要3秒,依此类推。

​当我们进行分而治之的算法(如二进制搜索)时,它是O(logn)。另一个例子是快速排序,每次我们将数组分成两部分,每次都需要O(N)时间才能找到一个枢轴元素。因此,N O(log N)

大O符号仅供参考。这可能会有所帮助!

大O----------------排序---------------复杂性

O(log N)     -Binary search      - logarithmic

O(N)         -Simple search      - Linear

O(N*log N)   -Quicksort          - loglinear 

O(2^N)       -recursive          - Exponential

O(N2)        -Selection sort     - directly proportional to the square of the input size.