我可以补充一些有趣的东西，很久以前我在科尔曼等的书中读过。现在，想象一个问题，我们必须在问题空间中找到解决方案。这个问题空间应该是有限的。

现在，如果你能证明，在你的算法的每一次迭代中，你都切断了这个空间的一部分，这不小于某个极限，这意味着你的算法在O（logN）时间内运行。

我应该指出，我们这里讨论的是相对分数极限，而不是绝对分数极限。二进制搜索是一个经典的例子。在每一步中，我们都会丢掉1/2的问题空间。但二进制搜索并不是唯一的例子。假设，你以某种方式证明了，在每一步中，你至少丢掉了1/128的问题空间。这意味着，您的程序仍然以O（logN）时间运行，尽管比二进制搜索慢得多。这是分析递归算法的一个很好的提示。通常可以证明，在每一步递归都不会使用几个变量，这会导致问题空间中某些分数的截断。

对数运行时间（O（log n））本质上意味着运行时间与输入大小的对数成比例增长-例如，如果10个项目最多需要一定的时间x，100个项目最多花费2倍，10000个项目最多耗费4倍，那么它看起来像是O（log n）时间复杂性。

概述

其他人已经给出了很好的图表示例，例如树形图。我没有看到任何简单的代码示例。因此，除了我的解释，我还将提供一些带有简单打印语句的算法，以说明不同算法类别的复杂性。

首先，你需要对对数有一个大致的了解，你可以从https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm . 自然科学使用e和自然日志。工程弟子将使用log_10（对数基数10），计算机科学家将大量使用log_2（对数基数2），因为计算机是基于二进制的。有时你会看到自然log的缩写为ln（），工程师通常不使用_10，只使用log（），log_2缩写为lg（）。所有类型的对数都以类似的方式增长，这就是为什么它们共享相同的log（n）类别。

当您查看下面的代码示例时，我建议您先查看O（1），然后查看O（n），然后再查看O（n^2）。在你擅长这些之后，再看看其他的。我已经包含了干净的示例和变体，以证明细微的变化仍然可以导致相同的分类。

你可以把O（1）、O（n）、O（logn）等看作是增长的类或类别。有些类别要比其他类别花费更多的时间。这些类别有助于我们对算法性能进行排序。有些随着输入n的增长而增长得更快。下表以数字形式显示了上述增长。在下表中，将log（n）视为log_2的上限。

各种大O类别的简单代码示例：

O（1）-恒定时间示例：

算法1：

算法1打印一次hello，它不依赖于n，所以它总是在恒定的时间内运行，所以它是O（1）。

print "hello";

算法2：

算法2打印hello 3次，但它不取决于输入大小。即使随着n的增长，该算法也将始终只打印hello 3次。也就是说，3是一个常数，所以这个算法也是O（1）。

print "hello";
print "hello";
print "hello";

O（log（n））-对数示例：

算法3-其行为类似于“log_2”

算法3演示了在log_2（n）中运行的算法。注意for循环的后操作将i的当前值乘以2，因此i从1到2到4到8到16到32。。。

for(int i = 1; i <= n; i = i * 2)
  print "hello";

算法4-其行为类似于“log_3”

算法4证明了log_3。注意我从1到3到9到27。。。

for(int i = 1; i <= n; i = i * 3)
  print "hello";

算法5-其行为类似于“log_1.02”

算法5很重要，因为它有助于表明，只要数字大于1，并且结果与自身重复相乘，那么你就在看对数算法。

for(double i = 1; i < n; i = i * 1.02)
  print "hello";

O（n）-线性时间示例：

算法6

这个算法很简单，可以打印n次hello。

for(int i = 0; i < n; i++)
  print "hello";

算法7

该算法显示了一种变体，它将打印hello n/2次。n/2=1/2*n。我们忽略1/2常数，看到这个算法是O（n）。

for(int i = 0; i < n; i = i + 2)
  print "hello";

O（n*log（n））-log（n）示例：

算法8

将其视为O（log（n））和O（n）的组合。for循环的嵌套帮助我们获得O（n*log（n））

for(int i = 0; i < n; i++)
  for(int j = 1; j < n; j = j * 2)
    print "hello";

算法9

算法9类似于算法8，但每个循环都允许变化，这仍然导致最终结果为O（n*log（n））

for(int i = 0; i < n; i = i + 2)
  for(int j = 1; j < n; j = j * 3)
    print "hello";

O（n^2）-n平方示例：

算法10

O（n^2）很容易通过循环的嵌套标准获得。

for(int i = 0; i < n; i++)
  for(int j = 0; j < n; j++)
    print "hello";

算法11

类似于算法10，但有一些变化。

for(int i = 0; i < n; i++)
  for(int j = 0; j < n; j = j + 2)
    print "hello";

O（n^3）-n立方示例：

算法12

这类似于算法10，但有3个循环而不是2个。

for(int i = 0; i < n; i++)
  for(int j = 0; j < n; j++)
    for(int k = 0; k < n; k++)
      print "hello";

算法13

类似于算法12，但具有一些仍然产生O（n^3）的变化。

for(int i = 0; i < n; i++)
  for(int j = 0; j < n + 5; j = j + 2)
    for(int k = 0; k < n; k = k + 3)
      print "hello";

总结

上面给出了几个直接的例子和变化，以帮助说明可以引入哪些细微的变化，而这些变化实际上不会改变分析。希望它能给你足够的洞察力。

这仅仅意味着该任务所需的时间随着log（n）的增加而增加（例如：n＝10时为2s，n＝100时为4s，…）。请阅读维基百科关于二进制搜索算法和大O符号的文章以了解更多的精度。

如果您有一个函数需要：

1 millisecond to complete if you have 2 elements.
2 milliseconds to complete if you have 4 elements.
3 milliseconds to complete if you have 8 elements.
4 milliseconds to complete if you have 16 elements.
...
n milliseconds to complete if you have 2^n elements.

然后需要log2（n）时间。广义地说，大O符号意味着关系只需要对大n成立，常数因子和小项可以忽略。

在信息技术中，它意味着：

  f(n)=O(g(n)) If there is suitable constant C and N0 independent on N, 
  such that
  for all N>N0  "C*g(n) > f(n) > 0" is true.

看来这个符号主要是从数学中提取出来的。

本文引用了一句话：D.E.Knuth，《大OMICRON、大OMEGA和大THETA》，1976年：

基于这里讨论的问题，我建议SIGACT以及计算机科学和数学期刊的编辑，采用上面定义的符号，除非有更好的替代方案很快就会发现。

今天是2016年，但我们今天仍然使用它。

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在数学分析中，这意味着：

  lim (f(n)/g(n))=Constant; where n goes to +infinity

但即使在数学分析中，有时这个符号也用于表示“C*g（n）>f（n）>0”。

我从大学里就知道，这个符号是由德国数学家朗道（1877-1938）创造的