从数学的角度来看这两个补体系统是有道理的。在ten的补语中，这个想法本质上是“隔离”差异。

示例:63 - 24 = x

我们把24的补数相加，也就是(100 - 24)实际上，我们要做的就是在方程两边加100。

现在方程是:100 + 63 - 24 = x + 100，这就是为什么我们要去掉100(或10或1000或其他)。

由于必须从一长串零中减去一个数字的不方便情况，我们使用“减基数补”系统，在十进制系统中，9的补。

当我们看到一串大的9减去一个数时，我们只需要把数字倒过来。

例如:99999 - 03275 = 96724

这就是为什么在9的补数之后加1。你可能从儿时的数学中知道，9通过“偷走”1变成了10。所以基本上就是10的补位差减去1。

在二进制中，2的补数等于10的补数，而1的补数等于9的补数。主要的区别在于，我们不是试图用10的幂来分离差异(将10、100等添加到等式中)，而是试图用2的幂来分离差异。

正是因为这个原因，我们把比特位颠倒。就像小数中的被减数是一串9一样，二进制中的被减数也是一串1。

例如:111111 - 101001 = 010110

因为1链比2的幂小1，它们从差值中“偷”了1，就像小数点中的9一样。

当我们使用负二进制数时，我们实际上是在说

0000 - 0101 = x

1111-0101 = 1010

1111 + 0000 - 0101 = x + 1111

为了“分离”x，我们需要加1，因为1111离10000只有1，我们去掉前导的1，因为我们只是把它加到原始的差值上。

1111 + 1 + 0000 - 0101 = x + 1111 + 1

10000 + 0000 - 0101 = x + 10000

只要两边都去掉10000就得到x，这是基本的代数。

2's complement is essentially a way of coming up with the additive inverse of a binary number. Ask yourself this: Given a number in binary form (present at a fixed length memory location), what bit pattern, when added to the original number (at the fixed length memory location), would make the result all zeros ? (at the same fixed length memory location). If we could come up with this bit pattern then that bit pattern would be the -ve representation (additive inverse) of the original number; as by definition adding a number to its additive inverse always results in zero. Example: take 5 which is 101 present inside a single 8 bit byte. Now the task is to come up with a bit pattern which when added to the given bit pattern (00000101) would result in all zeros at the memory location which is used to hold this 5 i.e. all 8 bits of the byte should be zero. To do that, start from the right most bit of 101 and for each individual bit, again ask the same question: What bit should I add to the current bit to make the result zero ? continue doing that taking in account the usual carry over. After we are done with the 3 right most places (the digits that define the original number without regard to the leading zeros) the last carry goes in the bit pattern of the additive inverse. Furthermore, since we are holding in the original number in a single 8 bit byte, all other leading bits in the additive inverse should also be 1's so that (and this is important) when the computer adds "the number" (represented using the 8 bit pattern) and its additive inverse using "that" storage type (a byte) the result in that byte would be all zeros.

 1 1 1
 ----------
   1 0 1
 1 0 1 1 ---> additive inverse
  ---------
   0 0 0

到目前为止，许多答案都很好地解释了为什么2的补数被用来表示负数，但没有告诉我们2的补数是什么，尤其是没有告诉我们为什么加了一个“1”，而且实际上经常以错误的方式加。

这种混淆来自于对补数定义的不理解。补语是指使某物完整的缺失部分。

根据定义，n位数x以b为基数的基数补是b^n-x。

在二进制中，4由100表示，它有3位数字(n=3)和基数2 (b=2)。所以它的基数补是b^n-x = 2^3-4=8-4=4(或二进制的100)。

然而，在二进制中，求一个基数的补并不像求它的消简基数补那么容易，消简基数补定义为(b^n-1)-y，只比基数补小1。要得到一个减少的基数补，只需翻转所有的数字。

100 -> 011(减基数补位)

为了得到基数(2的)补，我们只需按定义加1。

011 +1 ->100(2的补码)。

现在，有了这个新的理解，让我们看看Vincent Ramdhanie给出的例子(见上面的第二个回答):

将1111转换为十进制: 这个数从1开始，所以它是负的，所以我们找到1111的补数，也就是0000。 0000加上1，得到0001。 将0001转换为十进制，即1。 应用符号= -1。 大作。

应理解为:

数字从1开始，所以是负的。所以我们知道它是x的一个2的补。为了找到由它的2的补表示的x，我们首先需要找到它的1的补。

x的2的补数是1111 x的补数:1111-1 ->1110; X = 0001，(翻转所有数字)

应用符号-，结果=-x =-1。

我喜欢lavinio的回答，但变换部分增加了一些复杂性。通常情况下，可以选择在保留符号位的情况下移动位，或者不保留符号位。这是将数字处理为有符号数字(-8到7表示小块，-128到127表示字节)或全范围无符号数字(0到15表示小块，0到255表示字节)之间的选择。

Two的补语主要用于以下原因:

避免0的多个表示形式 避免在溢出的情况下跟踪进位(如补位)。 进行简单的加法和减法运算变得很容易。

想象一下，你有有限数量的比特/比特/数字等等。将0定义为所有数字都为0，并自然向上计数:

00
01
02
..

最终你会溢出。

98
99
00

我们有两位数字，可以表示从0到100的所有数字。所有这些数字都是正数!假设我们也想表示负数?

我们真正拥有的是一个循环。2之前的数字是1。1之前的数字是0。0之前的数字是…99.

为了简单起见，我们设任何大于50的数都是负数。0 ~ 49代表0 ~ 49。“99”是-1，“98”是-2，…“50”是-50。

这个表示是十的补数。计算机通常使用2的补码，除了使用位而不是数字之外，它是一样的。

10的补数的好处在于加法运算可以正常进行。你不需要做任何特殊的加法和负数!