求圆心到所给点之间的距离。如果它们之间的距离小于半径，则该点在圆内。 如果它们之间的距离等于圆的半径，那么这个点就在圆的周长上。 如果距离大于半径，则该点在圆外。

int d = r^2 - ((center_x-x)^2 + (center_y-y)^2);

if(d>0)
  print("inside");
else if(d==0)
  print("on the circumference");
else
  print("outside");

你应该检查圆心到点的距离是否小于半径

使用Python

if (x-center_x)**2 + (y-center_y)**2 <= radius**2:
    # inside circle

数学上，毕达哥拉斯可能是一个简单的方法，许多人已经提到过。

(x-center_x)^2 + (y - center_y)^2 < radius^2

计算上，有更快的方法。定义:

dx = abs(x-center_x)
dy = abs(y-center_y)
R = radius

如果一个点更有可能在这个圆之外，那么想象一个围绕它画的正方形，它的边都是这个圆的切线:

if dx>R then 
    return false.
if dy>R then 
    return false.

现在想象一下，在这个圆内画了一个方形钻石，它的顶点与这个圆接触:

if dx + dy <= R then 
    return true.

现在我们已经覆盖了大部分空间，只剩下一小块区域在方框和菱形之间待测试。这里我们回到上面提到的毕达哥拉斯。

if dx^2 + dy^2 <= R^2 then 
    return true
else 
    return false.

如果一个点更有可能在这个圆内，那么将前3步的顺序颠倒:

if dx + dy <= R then 
    return true.
if dx > R then 
    return false.
if dy > R 
    then return false.
if dx^2 + dy^2 <= R^2 then 
    return true
else
    return false.

另一种方法是想象在这个圆里面有一个正方形而不是菱形，但这需要稍微多一点的测试和计算，而且没有计算优势(内正方形和菱形的面积相同):

k = R/sqrt(2)
if dx <= k and dy <= k then 
    return true.

更新:

对于那些对性能感兴趣的人，我用c语言实现了这个方法，并使用-O3编译。

我通过时间获得了执行次数。/a.out

我实现了这个方法，一个正常的方法和一个虚拟的方法来确定定时开销。

正常:21.3秒 : 19.1秒 开销:16.5秒

因此，这个方法在这个实现中似乎更有效。

// compile gcc -O3 <filename>.c
// run: time ./a.out

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define TRUE  (0==0)
#define FALSE (0==1)

#define ABS(x) (((x)<0)?(0-(x)):(x))

int xo, yo, R;

int inline inCircle( int x, int y ){  // 19.1, 19.1, 19.1
  int dx = ABS(x-xo);
  if (    dx >  R ) return FALSE;
  int dy = ABS(y-yo);
  if (    dy >  R ) return FALSE;
  if ( dx+dy <= R ) return TRUE;
  return ( dx*dx + dy*dy <= R*R );
}

int inline inCircleN( int x, int y ){  // 21.3, 21.1, 21.5
  int dx = ABS(x-xo);
  int dy = ABS(y-yo);
  return ( dx*dx + dy*dy <= R*R );
}

int inline dummy( int x, int y ){  // 16.6, 16.5, 16.4
  int dx = ABS(x-xo);
  int dy = ABS(y-yo);
  return FALSE;
}

#define N 1000000000

int main(){
  int x, y;
  xo = rand()%1000; yo = rand()%1000; R = 1;
  int n = 0;
  int c;
  for (c=0; c<N; c++){
    x = rand()%1000; y = rand()%1000;
//    if ( inCircle(x,y)  ){
    if ( inCircleN(x,y) ){
//    if ( dummy(x,y) ){
      n++;
    }
  }
  printf( "%d of %d inside circle\n", n, N);
}

boolean isInRectangle(double centerX, double centerY, double radius, 
    double x, double y)
{
        return x >= centerX - radius && x <= centerX + radius && 
            y >= centerY - radius && y <= centerY + radius;
}    

//test if coordinate (x, y) is within a radius from coordinate (center_x, center_y)
public boolean isPointInCircle(double centerX, double centerY, 
    double radius, double x, double y)
{
    if(isInRectangle(centerX, centerY, radius, x, y))
    {
        double dx = centerX - x;
        double dy = centerY - y;
        dx *= dx;
        dy *= dy;
        double distanceSquared = dx + dy;
        double radiusSquared = radius * radius;
        return distanceSquared <= radiusSquared;
    }
    return false;
}

这样效率更高，可读性更强。它避免了昂贵的平方根运算。我还添加了一个检查，以确定点是否在圆的边界矩形内。

矩形检查是不必要的，除非有许多点或许多圆。如果大多数点都在圆圈内，边框检查实际上会使事情变慢!

像往常一样，一定要考虑您的用例。

下面的方程是一个表达式，测试一个点是否在一个给定的圆内，其中xP和yP是点的坐标，xC和yC是圆心的坐标，R是给定圆的半径。

如果上述表达式为真，则该点在圆内。

下面是一个c#实现的示例:

    public static bool IsWithinCircle(PointF pC, Point pP, Single fRadius){
        return Distance(pC, pP) <= fRadius;
    }

    public static Single Distance(PointF p1, PointF p2){
        Single dX = p1.X - p2.X;
        Single dY = p1.Y - p2.Y;
        Single multi = dX * dX + dY * dY;
        Single dist = (Single)Math.Round((Single)Math.Sqrt(multi), 3);

        return (Single)dist;
    }

如前所述，为了显示点是否在圆中，我们可以使用下面的方法

if ((x-center_x)^2 + (y - center_y)^2 < radius^2) {
    in.circle <- "True"
} else {
    in.circle <- "False"
}

要用图形表示，我们可以使用:

plot(x, y, asp = 1, xlim = c(-1, 1), ylim = c(-1, 1), col = ifelse((x-center_x)^2 + (y - center_y)^2 < radius^2,'green','red'))
draw.circle(0, 0, 1, nv = 1000, border = NULL, col = NA, lty = 1, lwd = 1)