硬件设计师的视角

我认为，既然我设计并构建了浮点硬件，我就应该添加一个硬件设计师的视角。了解错误的来源可能有助于了解软件中发生的情况，最终，我希望这有助于解释为什么浮点错误会发生并似乎会随着时间累积的原因。

1.概述

从工程角度来看，大多数浮点运算都会有一些误差，因为进行浮点运算的硬件只需要在最后一个位置的误差小于一个单位的一半。因此，许多硬件将停止在一个精度上，该精度只需要在单个操作的最后位置产生小于一个单位的一半的误差，这在浮点除法中尤其有问题。什么构成一个操作取决于该单元需要多少个操作数。大多数情况下，它是两个，但有些单位需要3个或更多操作数。因此，不能保证重复操作会导致期望的错误，因为错误会随着时间的推移而增加。

2.标准

大多数处理器遵循IEEE-754标准，但有些处理器使用非规范化或不同的标准例如，IEEE-754中存在一种非规范化模式，该模式允许以精度为代价表示非常小的浮点数。然而，下面将介绍IEEE-754的标准化模式，这是典型的操作模式。

在IEEE-754标准中，硬件设计者可以使用误差/ε的任何值，只要它在最后一个位置小于一个单位的一半，并且一次操作的结果只需要在最后一位小于一个单元的一半。这解释了为什么当重复操作时，错误会增加。对于IEEE-754双精度，这是第54位，因为53位用于表示浮点数的数字部分（标准化），也称为尾数（例如5.3e5中的5.3）。下一节将更详细地介绍各种浮点操作的硬件错误原因。

3.除法舍入误差的原因

浮点除法误差的主要原因是用于计算商的除法算法。大多数计算机系统使用逆函数的乘法来计算除法，主要是Z=X/Y，Z=X*（1/Y）。迭代地计算除法，即每个周期计算商的一些比特，直到达到所需的精度，对于IEEE-754来说，这是最后一位误差小于一个单位的任何值。Y（1/Y）的倒数表在慢除法中被称为商选择表（QST），商选择表的位大小通常是基数的宽度，或每次迭代中计算的商的位数，加上几个保护位。对于IEEE-754标准，双精度（64位），它将是除法器基数的大小，加上几个保护位k，其中k>=2。因此，例如，一次计算2位商（基数4）的除法器的典型商选择表将是2+2=4位（加上几个可选位）。

3.1除法舍入误差：倒数近似

商选择表中的倒数取决于除法：慢除法如SRT除法，或快除法如Goldschmidt除法；根据除法算法修改每个条目，以尝试产生最小的可能误差。然而，在任何情况下，所有的倒数都是实际倒数的近似值，并引入了一些误差因素。慢除法和快除法都迭代地计算商，即每一步计算商的一些位数，然后从被除数中减去结果，除法器重复这些步骤，直到误差小于最后一个单位的一半。慢除法计算每一步的商的固定位数，通常构建成本较低，而快除法计算每步的位数可变，构建成本通常较高。除法中最重要的部分是，它们大多依赖于通过倒数的近似值进行重复乘法，因此容易出错。

4.其他操作中的舍入错误：截断

所有操作中舍入误差的另一个原因是IEEE-754允许的最终答案的不同截断模式。有截断、向零舍入、向最接近（默认）舍入、向下舍入和向上舍入。所有方法都会在单个操作的最后位置引入小于一个单位的误差元素。随着时间的推移和重复操作，截断也会累积地增加结果误差。这种截断误差在涉及某种形式的重复乘法的求幂运算中尤其有问题。

5.重复操作

由于执行浮点计算的硬件只需要在单个操作的最后一个位置产生误差小于一个单位的一半的结果，因此如果不注意，误差将随着重复操作而增加。这就是为什么在需要有界误差的计算中，数学家使用诸如在IEEE-754的最后一位使用舍入到最接近的偶数位的方法，因为随着时间的推移，误差更可能相互抵消，而区间算术结合了IEEE754舍入模式的变化来预测舍入误差，并对其进行校正。由于与其他舍入模式相比，其相对误差较低，因此舍入到最近的偶数位（最后一位）是IEEE-754的默认舍入模式。

请注意，默认舍入模式（舍入到最后一位最接近的偶数位）保证一次操作的误差小于最后一位单位的一半。仅使用截断、向上舍入和向下舍入可能会导致误差大于最后一位一个单位的一半，但小于最后一位的一个单位，因此不建议使用这些模式，除非它们用于区间算术。

6.总结

简而言之，浮点运算中出现错误的根本原因是硬件中的截断和除法中倒数的截断。由于IEEE-754标准只要求单个操作的误差小于最后一位一个单位的一半，因此重复操作中的浮点误差将相加，除非得到纠正。

鉴于没有人提到这一点。。。

一些高级语言（如Python和Java）提供了克服二进制浮点限制的工具。例如：

Python的十进制模块和Java的BigDecimal类，它们在内部使用十进制表示法（与二进制表示法相反）表示数字。两者都有有限的精度，因此它们仍然容易出错，但它们解决了二进制浮点运算中最常见的问题。小数在处理金钱时很好：10美分加20美分总是正好是30美分：>>> 0.1 + 0.2 == 0.3错误>>>十进制（'0.1'）+十进制（'0.2'）==十进制（'0.3'）真的Python的十进制模块基于IEEE标准854-1987。Python的分数模块和Apache Common的BigFraction类。两者都将有理数表示为（分子、分母）对，它们可能给出比十进制浮点运算更精确的结果。

这两种解决方案都不是完美的（特别是如果我们考虑性能，或者如果我们需要非常高的精度），但它们仍然解决了二进制浮点运算的大量问题。

我可以补充一下吗；人们总是认为这是一个计算机问题，但如果你用手（以10为基数）计算，你就不能得到（1/3+1/3=2/3）=真，除非你有无穷大可以将0.333…加到0.333……就像（1/10+2/10）一样==基数2的3/10问题，您将其截断为0.333+0.333=0.666，并可能将其舍入为0.667，这在技术上也是不准确的。

用三进制数，三分之三不是问题——也许有人会问为什么你的十进制数学被打破了。。。

在硬件级别，浮点数表示为二进制数的分数（以2为基数）。例如，小数：

0.125

具有1/10+2/100+5/1000的值，并且以相同的方式，具有二进制分数：

0.001

值为0/2+0/4+1/8。这两个分数具有相同的值，唯一的区别是第一个是小数，第二个是二进制分数。

不幸的是，大多数十进制分数不能用二进制分数表示。因此，通常情况下，您给出的浮点数仅近似于存储在机器中的二进制分数。

这个问题在基础10中更容易解决。以分数1/3为例。您可以将其近似为小数：

0.3

或更好，

0.33

或更好，

0.333

无论你写了多少个小数点，结果永远不会精确到1/3，但这是一个总是更接近的估计。

同样，无论使用多少个以2为基数的小数位数，小数值0.1都不能精确地表示为二进制小数。在基数2中，1/10是以下周期数：

0.0001100110011001100110011001100110011001100110011 ...

停止在任何有限数量的比特，你会得到一个近似值。

对于Python，在典型的机器上，53位用于浮点的精度，因此输入小数0.1时存储的值是二进制小数。

0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010

其接近但不完全等于1/10。

很容易忘记存储的值是原始小数的近似值，因为在解释器中显示浮点的方式。Python只显示二进制存储值的十进制近似值。如果Python要输出存储为0.1的二进制近似值的真正十进制值，它将输出：

>>> 0.1
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

这比大多数人预期的小数位数要多得多，因此Python显示舍入值以提高可读性：

>>> 0.1
0.1

重要的是要理解，在现实中这是一种错觉：存储的值不完全是1/10，只是在显示器上存储的值被舍入。当您使用这些值执行算术运算时，这一点就会变得明显：

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

这种行为是机器浮点表示的本质所固有的：它不是Python中的错误，也不是代码中的错误。你可以在所有其他语言中观察到相同类型的行为​​使用硬件支持计算浮点数（尽管有些语言​​默认情况下不使差异可见或在所有显示模式下不可见）。

另一个令人惊讶的地方就在这一点上。例如，如果尝试将值2.675舍入到两位小数，则会得到

>>> round (2.675, 2)
2.67

round（）原语的文档表明它舍入到离零最近的值。由于小数正好在2.67和2.68之间的一半，因此应该可以得到2.68（二进制近似值）。然而，情况并非如此，因为当小数2.675转换为浮点时，它由精确值为：

2.67499999999999982236431605997495353221893310546875

由于近似值比2.68略接近2.67，因此舍入值降低。

如果您处于小数向下舍入的情况，那么应该使用十进制模块。顺便说一下，十进制模块还提供了一种方便的方式来“查看”为任何浮点存储的确切值。

>>> from decimal import Decimal
>>> Decimal (2.675)
>>> Decimal ('2.67499999999999982236431605997495353221893310546875')

0.1不是精确存储在1/10中这一事实的另一个结果是十个值的总和​​0.1也不等于1.0：

>>> sum = 0.0
>>> for i in range (10):
... sum + = 0.1
...>>> sum
0.9999999999999999

二进制浮点数的算术有很多这样的惊喜。“0.1”的问题将在下文“表示错误”一节中详细解释。有关此类惊喜的更完整列表，请参阅浮点运算的危险。

确实没有简单的答案，但是不要对浮动虚拟数字过分怀疑！在Python中，浮点数操作中的错误是由底层硬件造成的，在大多数机器上，每次操作的错误率不超过1/2*53。这对于大多数任务来说都是非常必要的，但您应该记住，这些操作不是十进制操作，并且对浮点数字的每一次操作都可能会出现新的错误。

尽管存在病态的情况，但对于大多数常见的用例，您只需在显示器上舍入到所需的小数位数，就可以在最后得到预期的结果。有关如何显示浮点数的详细控制，请参阅字符串格式语法以了解str.format（）方法的格式规范。

答案的这一部分详细解释了“0.1”的示例，并展示了如何自己对此类案例进行精确分析。我们假设您熟悉浮点数的二进制表示。术语表示错误意味着大多数小数不能用二进制精确表示。这就是为什么Python（或Perl、C、C++、Java、Fortran等）通常不会以十进制显示精确结果的主要原因：

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

为什么？1/10和2/10不能用二进制分数精确表示。然而，今天（2010年7月）所有的机器都遵循IEEE-754标准来计算浮点数。大多数平台使用“IEEE-754双精度”来表示Python浮点。双精度IEEE-754使用53位精度，因此在读取时，计算机尝试将0.1转换为J/2*N形式的最接近分数，J正好是53位的整数。重写：

1/10 ~ = J / (2 ** N)

in :

J ~ = 2 ** N / 10

记住J正好是53位（所以>=2**52但<2**53），N的最佳可能值是56:

>>> 2 ** 52
4503599627370496
>>> 2 ** 53
9007199254740992
>>> 2 ** 56/10
7205759403792793

因此，56是N的唯一可能值，正好为J保留53位。因此，J的最佳可能值是这个商，四舍五入：

>>> q, r = divmod (2 ** 56, 10)
>>> r
6

由于进位大于10的一半，通过四舍五入获得最佳近似值：

>>> q + 1
7205759403792794

因此，“IEEE-754双精度”中1/10的最佳近似值为2**56以上，即：

7205759403792794/72057594037927936

注意，由于四舍五入是向上进行的，结果实际上略大于1/10；如果我们没有四舍五入，这个商会略小于1/10。但无论如何都不是1/10！

因此，计算机从未“看到”1/10：它看到的是上面给出的精确分数，这是使用“IEEE-754”中的双精度浮点数的最佳近似值：

>>>. 1 * 2 ** 56
7205759403792794.0

如果我们将这个分数乘以10**30，我们可以观察到这些值​​它的30位小数具有很强的权重。

>>> 7205759403792794 * 10 ** 30 // 2 ** 56
100000000000000005551115123125L

这意味着存储在计算机中的精确值近似等于十进制值0.100000000000000005551115123125。在Python 2.7和Python 3.1之前的版本中，Python舍入这些值​​到17位有效小数，显示“0.10000000000000001”。在当前版本的Python中，显示的值是分数尽可能短的值，当转换回二进制时，给出的表示形式完全相同，只需显示“0.1”。

除了其他正确答案之外，您可能还需要考虑缩放值以避免浮点运算的问题。

例如：

var result = 1.0 + 2.0;     // result === 3.0 returns true

…而不是：

var result = 0.1 + 0.2;     // result === 0.3 returns false

在JavaScript中，表达式0.1+0.2===0.3返回false，但幸运的是，浮点中的整数运算是精确的，因此可以通过缩放来避免十进制表示错误。

作为一个实际的例子，为了避免精度至关重要的浮点问题，建议1将钱作为一个整数来处理：2550美分而不是25.50美元。

---

1 Douglas Crockford：JavaScript：好的部分：附录A——糟糕的部分（第105页）。

其实很简单。当你有一个基数为10的系统（像我们的系统）时，它只能表示使用基数素因子的分数。10的主要因子是2和5。因此，1/2、1/4、1/5、1/8和1/10都可以清晰地表达，因为分母都使用10的素因子。相比之下，1/3、1/6和1/7都是重复小数，因为它们的分母使用3或7的素因子。在二进制（或基数2）中，唯一的素因子是2。所以你只能清楚地表达分数，它只包含2作为素因子。在二进制中，1/2、1/4、1/8都可以清晰地表示为小数。而1/5或1/10将是重复小数。因此，0.1和0.2（1/10和1/5）虽然在以10为基数的系统中是干净的小数，但在计算机运行的以2为基数的体系中是重复的小数。当你对这些重复的小数进行数学运算时，当你将计算机的以2（二进制）为基数的数字转换为更易于人类阅读的以10为基础的数字时，你最终会留下剩余部分。

从…起https://0.30000000000000004.com/