其实很简单。当你有一个基数为10的系统（像我们的系统）时，它只能表示使用基数素因子的分数。10的主要因子是2和5。因此，1/2、1/4、1/5、1/8和1/10都可以清晰地表达，因为分母都使用10的素因子。相比之下，1/3、1/6和1/7都是重复小数，因为它们的分母使用3或7的素因子。在二进制（或基数2）中，唯一的素因子是2。所以你只能清楚地表达分数，它只包含2作为素因子。在二进制中，1/2、1/4、1/8都可以清晰地表示为小数。而1/5或1/10将是重复小数。因此，0.1和0.2（1/10和1/5）虽然在以10为基数的系统中是干净的小数，但在计算机运行的以2为基数的体系中是重复的小数。当你对这些重复的小数进行数学运算时，当你将计算机的以2（二进制）为基数的数字转换为更易于人类阅读的以10为基础的数字时，你最终会留下剩余部分。

从…起https://0.30000000000000004.com/

你试过胶带解决方案了吗？

尝试确定错误发生的时间，并用简短的if语句修复它们，这并不漂亮，但对于某些问题，这是唯一的解决方案，这就是其中之一。

 if( (n * 0.1) < 100.0 ) { return n * 0.1 - 0.000000000000001 ;}
                    else { return n * 0.1 + 0.000000000000001 ;}    

我在c#的一个科学模拟项目中也遇到过同样的问题，我可以告诉你，如果你忽视蝴蝶效应，它会变成一条大胖龙，咬你一口**

为了好玩，我按照标准C99的定义玩了浮点数的表示，并编写了下面的代码。

代码以3个独立的组打印浮点的二进制表示

SIGN EXPONENT FRACTION

然后，它打印一个和，当以足够的精度求和时，它将显示硬件中真正存在的值。

因此，当你写float x=999…时，编译器会将该数字转换为函数xx打印的位表示，这样函数yy打印的和就等于给定的数字。

事实上，这个总数只是一个近似值。对于数字999999999，编译器将在浮点的位表示中插入数字1000000000

代码之后，我附加了一个控制台会话，在该会话中，我计算硬件中真正存在的两个常量（减去PI和999999999）的项和，并由编译器插入其中。

#include <stdio.h>
#include <limits.h>

void
xx(float *x)
{
    unsigned char i = sizeof(*x)*CHAR_BIT-1;
    do {
        switch (i) {
        case 31:
             printf("sign:");
             break;
        case 30:
             printf("exponent:");
             break;
        case 23:
             printf("fraction:");
             break;

        }
        char b=(*(unsigned long long*)x&((unsigned long long)1<<i))!=0;
        printf("%d ", b);
    } while (i--);
    printf("\n");
}

void
yy(float a)
{
    int sign=!(*(unsigned long long*)&a&((unsigned long long)1<<31));
    int fraction = ((1<<23)-1)&(*(int*)&a);
    int exponent = (255&((*(int*)&a)>>23))-127;

    printf(sign?"positive" " ( 1+":"negative" " ( 1+");
    unsigned int i = 1<<22;
    unsigned int j = 1;
    do {
        char b=(fraction&i)!=0;
        b&&(printf("1/(%d) %c", 1<<j, (fraction&(i-1))?'+':')' ), 0);
    } while (j++, i>>=1);

    printf("*2^%d", exponent);
    printf("\n");
}

void
main()
{
    float x=-3.14;
    float y=999999999;
    printf("%lu\n", sizeof(x));
    xx(&x);
    xx(&y);
    yy(x);
    yy(y);
}

这里是一个控制台会话，我在其中计算硬件中存在的浮点值的实际值。我使用bc打印主程序输出的项的总和。可以将该和插入python-repl或类似的内容中。

-- .../terra1/stub
@ qemacs f.c
-- .../terra1/stub
@ gcc f.c
-- .../terra1/stub
@ ./a.out
sign:1 exponent:1 0 0 0 0 0 0 fraction:0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1
sign:0 exponent:1 0 0 1 1 1 0 fraction:0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0
negative ( 1+1/(2) +1/(16) +1/(256) +1/(512) +1/(1024) +1/(2048) +1/(8192) +1/(32768) +1/(65536) +1/(131072) +1/(4194304) +1/(8388608) )*2^1
positive ( 1+1/(2) +1/(4) +1/(16) +1/(32) +1/(64) +1/(512) +1/(1024) +1/(4096) +1/(16384) +1/(32768) +1/(262144) +1/(1048576) )*2^29
-- .../terra1/stub
@ bc
scale=15
( 1+1/(2) +1/(4) +1/(16) +1/(32) +1/(64) +1/(512) +1/(1024) +1/(4096) +1/(16384) +1/(32768) +1/(262144) +1/(1048576) )*2^29
999999999.999999446351872

就是这样。999999999的值实际上是

999999999.999999446351872

您也可以通过bc检查-3.14也受到干扰。不要忘记在bc中设置比例因子。

显示的金额是硬件内部的金额。通过计算它获得的值取决于设置的比例。我确实将比例因子设置为15。数学上，以无限的精度，它似乎是1000000000。

不，不破，但大多数小数必须近似

总结

浮点运算是精确的，不幸的是，它与我们通常的以10为基数的数字表示法不太匹配，所以我们经常给它的输入与我们写的略有不同。

即使是像0.01、0.02、0.03、0.04…0.24这样的简单数字也不能精确地表示为二进制分数。如果你数到0.01、.02、.03…，直到你数到0.25，你才能得到以2为底的第一个分数。如果你尝试使用FP，那么你的0.01会稍微有点偏差，所以要将其中的25个相加到一个精确的0.25，就需要一长串的因果关系，包括保护位和舍入。很难预测，所以我们举手说“FP不准确”，但事实并非如此。

我们不断地给FP硬件一些在基数10中看似简单但在基数2中却是重复的分数。

这是怎么发生的？

当我们用十进制书写时，每个分数（特别是每个终止的小数）都是形式的有理数

          a/（2n x 5m）

在二进制中，我们只得到2n项，即：

a/2n

所以在十进制中，我们不能表示1/3。因为基数10包括2作为素因子，所以我们可以写成二进制分数的每个数字也可以写成基数10的分数。然而，我们写为10进制分数的任何东西都很难用二进制表示。在0.01、0.02、0.03…0.99的范围内，只有三个数字可以用我们的FP格式表示：0.25、0.50和0.75，因为它们是1/4、1/2和3/4，所有的数字都只使用2n项。

在base10中，我们不能表示1/3。但在二进制中，我们不能做1/10或1/3。

因此，虽然每一个二进制分数都可以用十进制来表示，但反过来却不正确。事实上，大多数小数在二进制中重复。

处理它

开发人员通常被要求进行＜epsilon比较，更好的建议可能是舍入为整数值（在C库中：round（）和round f（），即保持FP格式），然后进行比较。舍入到特定的小数部分长度可以解决大多数输出问题。

此外，在实数运算问题（FP是在早期昂贵的计算机上为之发明的问题）上，宇宙的物理常数和所有其他测量值只为相对较少的有效数字所知，因此整个问题空间无论如何都是“不精确的”。FP“精度”在这种应用中不是问题。

当人们尝试使用FP进行计数时，整个问题就真的出现了。它确实可以做到这一点，但前提是你坚持使用整数值，这会破坏使用它的意义。这就是为什么我们拥有所有这些小数软件库的原因。

我喜欢克里斯的披萨回答，因为它描述了实际问题，而不仅仅是关于“不准确”的通常手写。如果FP只是“不准确”，我们可以修复它，而且几十年前就已经做到了。我们没有这样做的原因是因为FP格式紧凑快速，是处理大量数字的最佳方式。此外，这也是太空时代和军备竞赛以及早期使用小型内存系统解决速度非常慢的计算机的大问题的尝试所留下的遗产。（有时，单个磁芯用于1位存储，但这是另一回事。）

结论

如果您只是在银行数豆子，那么首先使用十进制字符串表示的软件解决方案工作得非常好。但你不能这样做量子色动力学或空气动力学。

硬件设计师的视角

我认为，既然我设计并构建了浮点硬件，我就应该添加一个硬件设计师的视角。了解错误的来源可能有助于了解软件中发生的情况，最终，我希望这有助于解释为什么浮点错误会发生并似乎会随着时间累积的原因。

1.概述

从工程角度来看，大多数浮点运算都会有一些误差，因为进行浮点运算的硬件只需要在最后一个位置的误差小于一个单位的一半。因此，许多硬件将停止在一个精度上，该精度只需要在单个操作的最后位置产生小于一个单位的一半的误差，这在浮点除法中尤其有问题。什么构成一个操作取决于该单元需要多少个操作数。大多数情况下，它是两个，但有些单位需要3个或更多操作数。因此，不能保证重复操作会导致期望的错误，因为错误会随着时间的推移而增加。

2.标准

大多数处理器遵循IEEE-754标准，但有些处理器使用非规范化或不同的标准例如，IEEE-754中存在一种非规范化模式，该模式允许以精度为代价表示非常小的浮点数。然而，下面将介绍IEEE-754的标准化模式，这是典型的操作模式。

在IEEE-754标准中，硬件设计者可以使用误差/ε的任何值，只要它在最后一个位置小于一个单位的一半，并且一次操作的结果只需要在最后一位小于一个单元的一半。这解释了为什么当重复操作时，错误会增加。对于IEEE-754双精度，这是第54位，因为53位用于表示浮点数的数字部分（标准化），也称为尾数（例如5.3e5中的5.3）。下一节将更详细地介绍各种浮点操作的硬件错误原因。

3.除法舍入误差的原因

浮点除法误差的主要原因是用于计算商的除法算法。大多数计算机系统使用逆函数的乘法来计算除法，主要是Z=X/Y，Z=X*（1/Y）。迭代地计算除法，即每个周期计算商的一些比特，直到达到所需的精度，对于IEEE-754来说，这是最后一位误差小于一个单位的任何值。Y（1/Y）的倒数表在慢除法中被称为商选择表（QST），商选择表的位大小通常是基数的宽度，或每次迭代中计算的商的位数，加上几个保护位。对于IEEE-754标准，双精度（64位），它将是除法器基数的大小，加上几个保护位k，其中k>=2。因此，例如，一次计算2位商（基数4）的除法器的典型商选择表将是2+2=4位（加上几个可选位）。

3.1除法舍入误差：倒数近似

商选择表中的倒数取决于除法：慢除法如SRT除法，或快除法如Goldschmidt除法；根据除法算法修改每个条目，以尝试产生最小的可能误差。然而，在任何情况下，所有的倒数都是实际倒数的近似值，并引入了一些误差因素。慢除法和快除法都迭代地计算商，即每一步计算商的一些位数，然后从被除数中减去结果，除法器重复这些步骤，直到误差小于最后一个单位的一半。慢除法计算每一步的商的固定位数，通常构建成本较低，而快除法计算每步的位数可变，构建成本通常较高。除法中最重要的部分是，它们大多依赖于通过倒数的近似值进行重复乘法，因此容易出错。

4.其他操作中的舍入错误：截断

所有操作中舍入误差的另一个原因是IEEE-754允许的最终答案的不同截断模式。有截断、向零舍入、向最接近（默认）舍入、向下舍入和向上舍入。所有方法都会在单个操作的最后位置引入小于一个单位的误差元素。随着时间的推移和重复操作，截断也会累积地增加结果误差。这种截断误差在涉及某种形式的重复乘法的求幂运算中尤其有问题。

5.重复操作

由于执行浮点计算的硬件只需要在单个操作的最后一个位置产生误差小于一个单位的一半的结果，因此如果不注意，误差将随着重复操作而增加。这就是为什么在需要有界误差的计算中，数学家使用诸如在IEEE-754的最后一位使用舍入到最接近的偶数位的方法，因为随着时间的推移，误差更可能相互抵消，而区间算术结合了IEEE754舍入模式的变化来预测舍入误差，并对其进行校正。由于与其他舍入模式相比，其相对误差较低，因此舍入到最近的偶数位（最后一位）是IEEE-754的默认舍入模式。

请注意，默认舍入模式（舍入到最后一位最接近的偶数位）保证一次操作的误差小于最后一位单位的一半。仅使用截断、向上舍入和向下舍入可能会导致误差大于最后一位一个单位的一半，但小于最后一位的一个单位，因此不建议使用这些模式，除非它们用于区间算术。

6.总结

简而言之，浮点运算中出现错误的根本原因是硬件中的截断和除法中倒数的截断。由于IEEE-754标准只要求单个操作的误差小于最后一位一个单位的一半，因此重复操作中的浮点误差将相加，除非得到纠正。

可以在数字计算机中实现的浮点数学必须使用实数的近似值及其运算。（标准版文件长达50多页，并有一个委员会处理其勘误表和进一步完善。）

这种近似是不同类型的近似的混合，每一种都可以被忽略或仔细考虑，因为其偏离精确性的特定方式。它还涉及到许多硬件和软件层面的明确例外情况，大多数人都会走过来假装没有注意到。

如果您需要无限精度（例如，使用数字π，而不是其许多较短的替代项之一），您应该编写或使用符号数学程序。

但是，如果您同意浮点数学有时在值和逻辑上是模糊的，错误可能会很快累积，并且您可以编写需求和测试来考虑这一点，那么您的代码可以经常通过FPU中的内容。