这些奇怪的数字之所以出现，是因为计算机使用二进制（以2为基数）数字系统进行计算，而我们使用十进制（以10为基数）。

大多数分数不能用二进制或十进制或两者精确表示。结果-四舍五入（但精确）的数字结果。

二进制浮点数学是这样的。在大多数编程语言中，它基于IEEE 754标准。问题的关键在于，数字以这种格式表示为整数乘以2的幂；分母不是2的幂的有理数（如0.1，即1/10）无法精确表示。

对于标准binary64格式的0.1，表示形式可以完全写为

0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625（十进制），或0x1.999999999999ap-4，采用C99六进制浮点数表示法。

相比之下，有理数0.1（1/10）可以完全写成

0.1（十进制），或0x1.999999999999999…p-4，类似于C99十六进制浮点数，其中。。。表示9的无限序列。

程序中的常数0.2和0.3也将近似于其真实值。恰好最接近0.2的两倍大于有理数0.2，但最接近0.3的两倍小于有理数0.3。0.1和0.2的和最终大于有理数0.3，因此与代码中的常数不一致。

浮点运算问题的一个相当全面的处理是每个计算机科学家都应该知道的浮点运算。有关更容易理解的解释，请参阅floatingpoint-gui.de。

边注：所有位置（以N为基数）数字系统都有精度问题

普通的十进制（以10为基数）数字也有同样的问题，这就是为什么像1/3这样的数字最终会变成0.33333333。。。

您刚刚偶然发现了一个数字（3/10），它很容易用十进制表示，但不适合二进制。它也是双向的（在某种程度上）：1/16在十进制中是一个丑陋的数字（0.0625），但在二进制中，它看起来和十进制中的第10000个一样整洁（0.0001）**-如果我们在日常生活中习惯使用基数为2的数字系统，你甚至会看着这个数字，本能地理解你可以通过将某个数字减半，一次又一次地减半来达到这个目的。

当然，这并不是浮点数在内存中的存储方式（它们使用了一种科学的表示法）。然而，它确实说明了一点，二进制浮点精度错误往往会出现，因为我们通常感兴趣的“真实世界”数字往往是十的幂，但这只是因为我们每天使用十进制数字系统。这也是为什么我们会说71%而不是“每7取5”（71%是一个近似值，因为5/7不能用任何小数精确表示）。

所以不：二进制浮点数并没有被破坏，它们只是碰巧和其他N进制一样不完美：）

边注：在编程中使用浮点

实际上，这种精度问题意味着在显示浮点数之前，需要使用舍入函数将浮点数舍入到您感兴趣的小数位数。

您还需要用允许一定公差的比较来替换相等测试，这意味着：

如果（x==y）｛…｝则不执行

相反，如果（abs（x-y）<myToleranceValue）｛…｝，则执行此操作。

其中abs是绝对值。需要为您的特定应用程序选择myToleranceValue，这与您准备允许多少“摆动空间”以及您将要比较的最大值（由于精度损失问题）有很大关系。当心您选择的语言中的“epsilon”样式常量。这些值可以用作公差值，但它们的有效性取决于您使用的数字的大小，因为使用大数字的计算可能会超过epsilon阈值。

在硬件级别，浮点数表示为二进制数的分数（以2为基数）。例如，小数：

0.125

具有1/10+2/100+5/1000的值，并且以相同的方式，具有二进制分数：

0.001

值为0/2+0/4+1/8。这两个分数具有相同的值，唯一的区别是第一个是小数，第二个是二进制分数。

不幸的是，大多数十进制分数不能用二进制分数表示。因此，通常情况下，您给出的浮点数仅近似于存储在机器中的二进制分数。

这个问题在基础10中更容易解决。以分数1/3为例。您可以将其近似为小数：

0.3

或更好，

0.33

或更好，

0.333

无论你写了多少个小数点，结果永远不会精确到1/3，但这是一个总是更接近的估计。

同样，无论使用多少个以2为基数的小数位数，小数值0.1都不能精确地表示为二进制小数。在基数2中，1/10是以下周期数：

0.0001100110011001100110011001100110011001100110011 ...

停止在任何有限数量的比特，你会得到一个近似值。

对于Python，在典型的机器上，53位用于浮点的精度，因此输入小数0.1时存储的值是二进制小数。

0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010

其接近但不完全等于1/10。

很容易忘记存储的值是原始小数的近似值，因为在解释器中显示浮点的方式。Python只显示二进制存储值的十进制近似值。如果Python要输出存储为0.1的二进制近似值的真正十进制值，它将输出：

>>> 0.1
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

这比大多数人预期的小数位数要多得多，因此Python显示舍入值以提高可读性：

>>> 0.1
0.1

重要的是要理解，在现实中这是一种错觉：存储的值不完全是1/10，只是在显示器上存储的值被舍入。当您使用这些值执行算术运算时，这一点就会变得明显：

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

这种行为是机器浮点表示的本质所固有的：它不是Python中的错误，也不是代码中的错误。你可以在所有其他语言中观察到相同类型的行为​​使用硬件支持计算浮点数（尽管有些语言​​默认情况下不使差异可见或在所有显示模式下不可见）。

另一个令人惊讶的地方就在这一点上。例如，如果尝试将值2.675舍入到两位小数，则会得到

>>> round (2.675, 2)
2.67

round（）原语的文档表明它舍入到离零最近的值。由于小数正好在2.67和2.68之间的一半，因此应该可以得到2.68（二进制近似值）。然而，情况并非如此，因为当小数2.675转换为浮点时，它由精确值为：

2.67499999999999982236431605997495353221893310546875

由于近似值比2.68略接近2.67，因此舍入值降低。

如果您处于小数向下舍入的情况，那么应该使用十进制模块。顺便说一下，十进制模块还提供了一种方便的方式来“查看”为任何浮点存储的确切值。

>>> from decimal import Decimal
>>> Decimal (2.675)
>>> Decimal ('2.67499999999999982236431605997495353221893310546875')

0.1不是精确存储在1/10中这一事实的另一个结果是十个值的总和​​0.1也不等于1.0：

>>> sum = 0.0
>>> for i in range (10):
... sum + = 0.1
...>>> sum
0.9999999999999999

二进制浮点数的算术有很多这样的惊喜。“0.1”的问题将在下文“表示错误”一节中详细解释。有关此类惊喜的更完整列表，请参阅浮点运算的危险。

确实没有简单的答案，但是不要对浮动虚拟数字过分怀疑！在Python中，浮点数操作中的错误是由底层硬件造成的，在大多数机器上，每次操作的错误率不超过1/2*53。这对于大多数任务来说都是非常必要的，但您应该记住，这些操作不是十进制操作，并且对浮点数字的每一次操作都可能会出现新的错误。

尽管存在病态的情况，但对于大多数常见的用例，您只需在显示器上舍入到所需的小数位数，就可以在最后得到预期的结果。有关如何显示浮点数的详细控制，请参阅字符串格式语法以了解str.format（）方法的格式规范。

答案的这一部分详细解释了“0.1”的示例，并展示了如何自己对此类案例进行精确分析。我们假设您熟悉浮点数的二进制表示。术语表示错误意味着大多数小数不能用二进制精确表示。这就是为什么Python（或Perl、C、C++、Java、Fortran等）通常不会以十进制显示精确结果的主要原因：

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

为什么？1/10和2/10不能用二进制分数精确表示。然而，今天（2010年7月）所有的机器都遵循IEEE-754标准来计算浮点数。大多数平台使用“IEEE-754双精度”来表示Python浮点。双精度IEEE-754使用53位精度，因此在读取时，计算机尝试将0.1转换为J/2*N形式的最接近分数，J正好是53位的整数。重写：

1/10 ~ = J / (2 ** N)

in :

J ~ = 2 ** N / 10

记住J正好是53位（所以>=2**52但<2**53），N的最佳可能值是56:

>>> 2 ** 52
4503599627370496
>>> 2 ** 53
9007199254740992
>>> 2 ** 56/10
7205759403792793

因此，56是N的唯一可能值，正好为J保留53位。因此，J的最佳可能值是这个商，四舍五入：

>>> q, r = divmod (2 ** 56, 10)
>>> r
6

由于进位大于10的一半，通过四舍五入获得最佳近似值：

>>> q + 1
7205759403792794

因此，“IEEE-754双精度”中1/10的最佳近似值为2**56以上，即：

7205759403792794/72057594037927936

注意，由于四舍五入是向上进行的，结果实际上略大于1/10；如果我们没有四舍五入，这个商会略小于1/10。但无论如何都不是1/10！

因此，计算机从未“看到”1/10：它看到的是上面给出的精确分数，这是使用“IEEE-754”中的双精度浮点数的最佳近似值：

>>>. 1 * 2 ** 56
7205759403792794.0

如果我们将这个分数乘以10**30，我们可以观察到这些值​​它的30位小数具有很强的权重。

>>> 7205759403792794 * 10 ** 30 // 2 ** 56
100000000000000005551115123125L

这意味着存储在计算机中的精确值近似等于十进制值0.100000000000000005551115123125。在Python 2.7和Python 3.1之前的版本中，Python舍入这些值​​到17位有效小数，显示“0.10000000000000001”。在当前版本的Python中，显示的值是分数尽可能短的值，当转换回二进制时，给出的表示形式完全相同，只需显示“0.1”。

不，不破，但大多数小数必须近似

总结

浮点运算是精确的，不幸的是，它与我们通常的以10为基数的数字表示法不太匹配，所以我们经常给它的输入与我们写的略有不同。

即使是像0.01、0.02、0.03、0.04…0.24这样的简单数字也不能精确地表示为二进制分数。如果你数到0.01、.02、.03…，直到你数到0.25，你才能得到以2为底的第一个分数。如果你尝试使用FP，那么你的0.01会稍微有点偏差，所以要将其中的25个相加到一个精确的0.25，就需要一长串的因果关系，包括保护位和舍入。很难预测，所以我们举手说“FP不准确”，但事实并非如此。

我们不断地给FP硬件一些在基数10中看似简单但在基数2中却是重复的分数。

这是怎么发生的？

当我们用十进制书写时，每个分数（特别是每个终止的小数）都是形式的有理数

          a/（2n x 5m）

在二进制中，我们只得到2n项，即：

a/2n

所以在十进制中，我们不能表示1/3。因为基数10包括2作为素因子，所以我们可以写成二进制分数的每个数字也可以写成基数10的分数。然而，我们写为10进制分数的任何东西都很难用二进制表示。在0.01、0.02、0.03…0.99的范围内，只有三个数字可以用我们的FP格式表示：0.25、0.50和0.75，因为它们是1/4、1/2和3/4，所有的数字都只使用2n项。

在base10中，我们不能表示1/3。但在二进制中，我们不能做1/10或1/3。

因此，虽然每一个二进制分数都可以用十进制来表示，但反过来却不正确。事实上，大多数小数在二进制中重复。

处理它

开发人员通常被要求进行＜epsilon比较，更好的建议可能是舍入为整数值（在C库中：round（）和round f（），即保持FP格式），然后进行比较。舍入到特定的小数部分长度可以解决大多数输出问题。

此外，在实数运算问题（FP是在早期昂贵的计算机上为之发明的问题）上，宇宙的物理常数和所有其他测量值只为相对较少的有效数字所知，因此整个问题空间无论如何都是“不精确的”。FP“精度”在这种应用中不是问题。

当人们尝试使用FP进行计数时，整个问题就真的出现了。它确实可以做到这一点，但前提是你坚持使用整数值，这会破坏使用它的意义。这就是为什么我们拥有所有这些小数软件库的原因。

我喜欢克里斯的披萨回答，因为它描述了实际问题，而不仅仅是关于“不准确”的通常手写。如果FP只是“不准确”，我们可以修复它，而且几十年前就已经做到了。我们没有这样做的原因是因为FP格式紧凑快速，是处理大量数字的最佳方式。此外，这也是太空时代和军备竞赛以及早期使用小型内存系统解决速度非常慢的计算机的大问题的尝试所留下的遗产。（有时，单个磁芯用于1位存储，但这是另一回事。）

结论

如果您只是在银行数豆子，那么首先使用十进制字符串表示的软件解决方案工作得非常好。但你不能这样做量子色动力学或空气动力学。

由于这篇文章对当前的浮点实现进行了一般性的讨论，我想补充一下，有一些项目正在解决它们的问题。

看看https://posithub.org/例如，它展示了一种称为posit（及其前身unum）的数字类型，它承诺以更少的比特提供更好的精度。如果我的理解是正确的，它也解决了问题中的问题。非常有趣的项目，背后的人是数学家约翰·古斯塔夫森博士。整个过程都是开源的，用C/C++、Python、Julia和C#实现了许多实际的实现(https://hastlayer.com/arithmetics).

另一种方法是：使用64位来表示数字。因此，无法精确表示超过2**64=18446744073709551616个不同的数字。

然而，Math表示，在0和1之间已经有无限多的小数。IEE 754定义了一种编码，以有效地将这64位用于更大的数字空间加上NaN和+/-无穷大，因此在精确表示的数字之间存在间隙，只填充近似的数字。

不幸的是，0.3存在差距。