昨天,我在洗衣服时把袜子配对,结果发现我这样做效率不高。我在做一个天真的搜索——挑选一只袜子,然后“反复”寻找那一双袜子。这需要平均在n/2*n/4=n2/8袜子上迭代。

作为一名计算机科学家,我在想我能做什么?排序(根据大小/颜色/…)当然是为了实现O(NlogN)解决方案。

哈希或其他不到位的解决方案是不可选择的,因为我无法复制我的袜子(如果可以的话,这可能很好)。

因此,问题基本上是:

给定一堆n双袜子,其中包含2n个元素(假设每只袜子正好有一对匹配的袜子),用对数的额外空间高效地将它们配对的最佳方式是什么?(如果需要的话,我相信我可以记住这些信息。)

我将感谢回答以下方面的问题:

大量袜子的一般理论解。袜子的实际数量没有那么多,我不相信我的配偶和我有超过30双。(而且很容易区分我的袜子和她的袜子;这也可以用吗?)它是否等同于元素清晰度问题?


当前回答

Defant&Kravitz(1)给出了一种算法,通过将袜子依次放在脚上和脚下来对袜子进行排序。

他们的算法适用于任意数量的英尺。

本文给出了(定理1.1)可使用单脚排序的袜子订单的特征。从他们的定理1.3可以看出,每一个4种颜色的袜子订单最多可以用两只脚进行排序,而有5种颜色的袜订单不可能用两只脚排序。

Colin Defant和Noah Kravitz,袜子足部分类(2022)

其他回答

案例1:所有袜子都是一样的(顺便说一句,这是我在现实生活中所做的)。

选择其中的任意两个组成一对。恒定时间。

案例2:有固定数量的组合(所有权、颜色、大小、纹理等)。

使用基数排序。这只是线性时间,因为不需要比较。

情况3:组合的数量事先未知(一般情况)。

我们必须进行比较,以检查两只袜子是否成对。选择基于O(n log n)比较的排序算法之一。

然而,在现实生活中,当袜子的数量相对较少(恒定)时,这些理论上的优化算法将无法很好地工作。这可能比顺序搜索花费更多的时间,理论上需要二次时间。

如果你可以将一双袜子抽象为密钥本身,将另一双袜子作为值,那么我们可以使用哈希来发挥作用。

在你身后的地板上做两个假想的部分,一个给你,另一个给配偶。从袜子堆里取一只。现在,按照以下规则将袜子一只一只地放在地板上。确定袜子是你的还是她的,并查看地板上的相关部分。如果你能在地板上找到这双鞋,就把它捡起来,把它们系起来,或者把它们夹起来,或者在找到一双鞋后做任何你想做的事情,然后把它放在篮子里(把它从地板上取下来)。将其放在相关章节中。重复3次,直到所有袜子都从袜子堆上取下。

说明:

哈希和抽象

抽象是一个非常强大的概念,已用于改善用户体验(UX)。现实生活中与计算机交互的抽象示例包括:

用于在GUI(图形用户界面)中导航以访问地址的文件夹图标,而不是键入实际地址以导航到某个位置。GUI滑块用于控制不同级别的音量、文档滚动位置等。。

哈希或其他不到位的解决方案是不可选择的,因为我无法复制我的袜子(如果可以的话,这可能很好)。

我相信提问者正在考虑使用哈希,这样在放置袜子之前,应该知道袜子的位置。

这就是为什么我建议将放在地板上的一只袜子抽象为哈希键本身(因此不需要复制袜子)。

如何定义哈希键?

如果有不止一双类似的袜子,下面的密钥定义也适用。也就是说,假设有两双黑色男士袜子PairA和PairB,每双袜子都被命名为PairA-L、PairA-R、PairB-L和PairB-R。因此,PairA-L可以与PairB-R配对,但PairA-L和PairB-L不能配对。

假设任何袜子都可以通过以下方式唯一标识,

属性[性别]+属性[颜色]+属性(材质)+属性[类型1]+属性[类别2]+属性[左_右]

这是我们的第一个哈希函数。让我们对这个h1(G_C_M_T1_T2_LR)使用一个简短的符号。h1(x)不是我们的位置键。

消除Left_or_Right属性的另一个哈希函数是h2(G_C_M_T1_T2)。第二个函数h2(x)是我们的位置键!(你身后地板上的空间)。

要定位插槽,请使用h2(G_C_M_T1_T2)。一旦找到了槽,就使用h1(x)来检查它们的哈希值。如果它们不匹配,你就有一对。否则,把袜子扔到同一个槽里。

注意:由于我们在找到一个插槽时删除了一个插槽,因此可以安全地假设最多只有一个插槽具有唯一的h2(x)或h1(x)值。

如果我们每只袜子正好有一对匹配的袜子,那么使用h2(x)来查找位置,如果没有袜子,则需要进行检查,因为可以安全地假设它们是一对。

为什么把袜子放在地板上很重要

让我们考虑一个场景,袜子堆在一起(最坏的情况)。这意味着我们别无选择,只能进行线性搜索来找到一对。

将它们铺在地板上可以提高可见度,从而提高发现匹配袜子(匹配哈希键)的机会。当第三步把袜子放在地板上时,我们的大脑已经下意识地记录了位置。-因此,如果这个位置在我们的内存中可用,我们可以直接找到匹配的配对。-如果没有记住位置,不要担心,然后我们可以一直返回到线性搜索。

为什么从地板上取下这对鞋很重要?

短期人类记忆在需要记忆的项目较少时效果最好。因此,增加了我们使用哈希来识别这对的概率。当使用线性搜索对时,它还将减少要搜索的项目的数量。

分析

情况1:最坏的情况是,Derpina无法记住或直接使用哈希技术在地板上发现袜子。Derp对地板上的物品进行线性搜索。这并不比遍历堆以找到对更糟。比较上限:O(n^2)。比较下限:(n/2)。(当Derpina每捡一只袜子都是上一只的时候)。案例2:德普记得他放在地板上的每一只袜子的位置,每只袜子正好有一双。比较上限:O(n/2)。比较下限:O(n/2)。

我说的是比较操作,从袜子堆里挑选袜子必然是n次操作。因此,实际的下限是n次迭代,n/2次比较。

加快进度

为了获得完美的分数,使Derp获得O(n/2)比较,我建议Derpina,

花更多时间穿袜子来熟悉它。是的,这意味着也要花更多时间穿着德普的袜子。玩记忆游戏,如在网格中找出对,可以提高短期记忆性能,这是非常有益的。

这是否等同于元素清晰度问题?

我建议的方法是用于解决元素区分问题的方法之一,将它们放在哈希表中并进行比较。

考虑到您的特殊情况,即只有一个精确的对,它已经变得非常等价于元素区别问题。因为我们甚至可以对袜子进行分类,并检查相邻袜子是否成对(EDP的另一种解决方案)。

然而,如果给定袜子可能存在不止一双,那么它就偏离了EDP。

这是基于比较的模型中的Omega(n log n)下限。(唯一有效的操作是比较两只袜子。)

假设你知道你的2n只袜子是这样排列的:

p1 p2 p3。。。pn pf(1)pf(2)。。。功率因数(n)

其中f是集合{1,2,…,n}的未知排列。知道这一点不会使问题变得更难。有n个!可能的输出(上半部分和下半部分之间的匹配),这意味着您需要log(n!)=Omega(n log n)比较。这可通过分类获得。

由于您对元素区别性问题的连接感兴趣:证明元素区别性的Omega(n log n)界限比较困难,因为输出是二进制的yes/no。这里,输出必须是匹配的,并且可能输出的数量足以获得一个合适的界限。然而,有一个变量与元素的区别有关。假设你有2n只袜子,想知道它们是否可以唯一配对。您可以通过将(a1,a2,…,an)发送到(a1,a1,a2、a2,…、an,an)来获得ED的缩减。(附带地,通过拓扑结构,ED的硬度证明非常有趣。)

我认为,如果只允许等式测试,那么原始问题应该有一个Omega(n2)边界。我的直觉是:考虑一个测试后添加边的图形,并认为如果图形不密集,则输出不是唯一确定的。

如果“移动”操作相当昂贵,而“比较”操作很便宜,并且无论如何都需要将整个集合移动到一个缓冲区中,在那里搜索速度比原始存储快得多。。。只需将排序整合到强制移动中即可。

我发现,将分拣过程整合到晾衣架中,这一过程变得轻而易举。无论如何,我需要拿起每一只袜子,然后把它挂起来(移动),把它挂在绳子上的某个特定位置几乎不需要任何费用。现在,为了不强制搜索整个缓冲区(字符串),我选择按颜色/阴影放置袜子。左边更黑,右边更亮,前面更鲜艳。现在,在我挂上每一只袜子之前,我先看看它的“右边附近”是否已经有一只匹配的袜子——这限制了“扫描”其他2-3只袜子——如果有,我就把另一只挂在旁边。然后,我把它们成对地卷起来,然后在干的时候把它们从绳子上取下来。

现在,这似乎与顶级答案所建议的“按颜色形成桩”没有什么不同,但首先,通过不选择离散桩而是选择范围,我没有问题将“紫色”分类为“红色”还是“蓝色”桩;它只是介于两者之间。然后通过集成两个操作(挂起晾干和分拣),挂起时的分拣开销大约是单独分拣的10%。

对于p双袜子(n=2p只袜子),我实际上是这样做的:

从袜子堆里随便拿一只袜子。对于第一只袜子,或者如果之前选择的所有袜子都已配对,只需将袜子放入前面未配对袜子“阵列”的第一个“槽”中。如果有一个或多个选定的未配对袜子,请对照阵列中的所有未配对袜子检查当前袜子。在构建阵列时,可以将袜子分为普通类别或类型(白色/黑色、脚踝/圆领、运动型/连衣裙),并“向下搜索”以仅比较同类。如果你找到了一个可以接受的匹配,把两只袜子放在一起,然后把它们从阵列中去掉。如果没有,请将当前袜子放入阵列中第一个打开的插槽中。对每只袜子重复上述步骤。

这种方案的最坏情况是,每双袜子都不同,必须完全匹配,而且你挑选的第一双n/2袜子都不同。这是你的O(n2)场景,极不可能。如果袜子的独特类型的数量t小于袜子对的数量p=n/2,并且每种类型的袜子都足够相似(通常在穿着相关的术语中),使得该类型的任何袜子都可以与任何其他袜子配对,那么正如我上面所推断的,你必须与之进行比较的袜子的最大数量是t,之后你拉动的下一只袜子将与未配对的袜子之一相匹配。这种情况在普通袜子抽屉中比在最坏情况下更可能发生,并将最坏情况的复杂性降低到O(n*t),其中通常t<<n。